Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 6 стр.

              Раздел I: Дифференциальная геометрия кривых
                   (Линии в евклидовом пространстве)

      Дифференциальная геометрия – это изучение геометрических объек-
тов средствами математического анализа.
      В разделе I мы будем изучать кривые в трехмерном пространстве.
Основной инструмент исследования – это естественная параметризация. С
её помощью мы даём первоначальные определения большинства вводи-
мых дифференциально-геометрических понятий, а затем уже приводим
чисто геометрические понятия.
      Заканчивается раздел «натуральными уравнениями», описывающими
вид кривой вне зависимости от её расположения в пространстве.

        §1. Векторные функции одного скалярного аргумента и его
                           дифференцирование.
     Пусть V – трехмерное евклидово пространство; I – некоторый чи-
словой промежуток.
     Определение 1:Векторной функцией скалярного аргумента t назы-
                    вается соответствие δ ⊂ I × V, которое каждому
                   числу t ∈ I по некоторому закону ставит в соответ-
                                   r
                   ствие вектор ν (t ) ∈ V
                                               r
                           Обозначают: ν (t ).
                                      r                r
     Замечание 1: Длина ν (t ) вектора ν (t ) является обычной (прини-
                  мающей числовые значения) функцией от переменной
                  t.
                                         r
     Определение 2: Пределом функции ν (t ) при t → t0 ( Δ t → 0) называ-
                                                     r
                     ется такой постоянный вектор a , что
                                      r        r
                               lim
                                t →t
                                  0
                                     ν  (t ) − a =0
     Обозначают:
                             r           r
                      lim
                       t →t
                            ν  ( t ) =   a
                                  o
                                    r        r                 r         r
     Определение 3: Если limt →t
                                   ν  (t )o
                                           = ν (t 0
                                                    ) ( lim
                                                        Δt → 0
                                                               ν (t ) − ν  (t 0 ) = 0 ),
                   говорят: бесконечно малому приращению аргу-
                  мента соответствует бесконечно малое прираще-
                                                           r
                  ние функции), то векторная функция ν (t ) называ-
                  ется непрерывной в точке t0.
                                r
     Определение 4:Функция ν (t ) называется дифференцируемой в
                  точке t0 ∈ I, если в этой точке t0 существует произ-
                          r
                  водная ν ′(t 0 ) , т.е. существует



                                               6