Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

8
Замечание 3:
а) нетрудно доказать, что для любых векторных функций
()
t
ν
r
,
()
t
ω
r
и числовой функции
)(
t
f
, дифференцируемых в промежутке
I, справедливы следующие правила дифференцирования
:
1
0
.
()
;
d
t
d
d
t
d
d
t
d
ω
ν
ων
r
r
r
r
+=+
2
0
.
()
;
d
t
d
d
t
d
d
t
d
ω
ν
ν
ωων
r
r
r
rr
r
⋅+⋅=⋅
3
0
.
[]
;,,,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
dt
d
dt
d
dt
d
ω
νω
ν
ων
r
r
r
r
r
r
4
0
.
()
.
d
t
d
f
d
t
df
f
d
t
d
ν
νν
r
rr
⋅+⋅=
б) Если в промежутке I имеем
)
1
=
t
ν
r
, то в каждой точке t
∈
I
вектор
()
t
ν
r
ортогонален производной
d
t
d
ν
r
в этой точке (т.к.
d
t
d
d
t
d
d
t
d
d
t
d
ν
ν
ν
ννν
ν
ν
ν
r
r
r
rrr
rr
r
⊥⇒=⋅==⋅+⋅ 0;1;0
2
.
в) Производная
d
t
d
ν
r
, согласно (2), является векторной функцией в
промежутке I, поэтому можно ввести понятие производных высших по-
рядков:
.;...;;
3
3
2
2
n
n
d
t
d
d
t
d
d
t
d
ν
ν
ν
r
r
r
§2. Понятие линии.
Пусть Е
3
– евклидово трехмерное пространство с пространством пе-
реносов V. Зададим п.с.к.
kjiO
r
r
r
,,, . Положение точки М, движущейся в
пространстве Е
3
(рис.1), в момент времени t
∈
I определяется радиус – век-
тором
()
tr
r
точки М относительно п.с.к. kjiO
r
r
r
,,,
MOr
r
r
= . Т.о., имеем
векторную функцию
()
tr
r
скалярного аргумента t
∈
I:
()
tr
r
=
)
)
)
ktzjtyitx
r
r
r
++ , (1)
причем M(x(t), y(t), z(t) ) в п.с.к.
kjiO
r
r
r
,,, в момент времени t. 
          Замечание 3:
           а) нетрудно доказать, что для любых векторных функций
    r     r
   ν (t ),ω (t ) и числовой функции f (t ) , дифференцируемых в промежутке
   I, справедливы следующие правила дифференцирования:
                            r    r
          d r r dν dω
      1. 0
            (ν + ω ) = + ;
         dt               dt r dt r
         d r r          r dν r dω
      20. (ν ⋅ ω ) = ω ⋅       +ν ⋅    ;
         dt                 dt      dt
                           r             r
       0 d r r         ⎡ dν r ⎤ ⎡ r dω ⎤
      3.    [ν , ω ] = ⎢ , ω ⎥ + ⎢ν , ⎥;
         dt            ⎣ dt    ⎦ ⎣ dt ⎦
                                    r
       0 d      r df r            dν
      4.    ( f ν ) = ⋅ν + f ⋅ .
         dt           dt           dt      r
             б) Если в промежутке I имеем      ν (t ) = 1, то в каждой точке t∈ I
                                                       r
             r                                      dν
вектор       ν (t ) ортогонален производной               в   этой       точке   (т.к.
    r     r                      r              dtr
r dν dν r          r        r dν           r dν
ν⋅    +     ⋅ν = 0;ν 2 = 1;ν ⋅     = 0 ⇒ν ⊥         .
   dt dt                   r    dt              dt
                        dν
       в) Производная        , согласно (2), является векторной функцией в
                         dt
промежутке I, поэтому можно ввести понятие производных высших по-
рядков:
                                      r   r         r
                                  d 2ν d 3ν      d nν
                                        ;   ;...; n .
                                  dt 2 dt 3      dt

                                 §2. Понятие линии.

     Пусть Е3 – евклидово трехмерное       пространство с пространством пе-
                              r r r
реносов V. Зададим п.с.к. O, i , j , k . Положение точки М, движущейся в
пространстве Е3 (рис.1), в момент времени t ∈ I определяется r радиус – век-
                                               r r r r
      r
                                                         (           )
тором r (t ) точки М относительно п.с.к. O, i , j , k r = OM . Т.о., имеем
                      r
векторную функцию r (t ) скалярного аргумента t∈I:
                             r             r          r         r
                             r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k ,               (1)
                                         r r r
причем M(x(t), y(t), z(t) ) в п.с.к. O, i , j , k в момент времени t.




                                         8

Страницы