Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

10
соответствие точку М (t) (т.е. такую точку М, что
e
t
M
O
r
r
=
′
) прямой d
(рис.3).
e
t
M
O
r
r
=
Рис.3
Очевидно, что в гомеоморфизме f числовая прямая переходит в пря-
мую d, числовой интервал – в отрезок прямой d без концов; числовой отре-
зок – в отрезок, полуинтервал в отрезок без одного конца, который гомео-
морфен лучу. Следовательно, любой числовой промежуток гомеоморфен
одной из простейших линий. Поэтому определение
2 эквивалентно опре-
делению:
Определение
//
2 . Фигура γ
0
⊂
E
3
называется элементарной линией,
если она гомеоморфна некоторому числовому про-
межутку.
Примеры:
1) Полуокружность
ω
с концами А и В гомеоморфна отрезку (рис.4),
поэтому полуокружность является элементарной линией (
дугой).
Рис.4
2) Синусоиду
γ
: y =sin x в п.с.к. kjiO
r
r
r
,,, можно задать уравнениями
x=t; y=sin t; z=0, которые устанавливают гомеоморфизм множества R на
синусоиду
γ
. Но R гомеоморфно оси Оx, тогда синусоида гомеоморфна
прямой и, следовательно, элементарная линия.
f : R
→
γ,
∀
t
∈
R f(t)=M(x,y,z)
∈
γ.
Обобщая случай с синусоидой, можно задать гомеоморфизм f : I
→
γ
0
по правилу: ∀ (t∈I) f(t)=(x(t); y(t); z(t)), где x(t), y(t), z(t) –координаты
()
tr
r
в (1). Следовательно, формулы
X= x(t), y= y(t), z= z(t) (2)
осуществляют гомеоморфизм f и задают элементарную линию. Формулы
(2) называются
параметрическими уравнениями линии γ
0
.
O
′
e
r
M
(
t
)
d
A
B
ω
                                                      r    r
соответствие точку М (t) (т.е. такую точку М, что O ′M  = te ) прямой d
(рис.3).

                          r
                 O′       e       M(t) d                ′
                                                          r   r
                                                       O M = te

                                        Рис.3

      Очевидно, что в гомеоморфизме f числовая прямая переходит в пря-
мую d, числовой интервал – в отрезок прямой d без концов; числовой отре-
зок – в отрезок, полуинтервал в отрезок без одного конца, который гомео-
морфен лучу. Следовательно, любой числовой промежуток гомеоморфен
одной из простейших линий. Поэтому определение 2 эквивалентно опре-
делению:

      Определение 2 // . Фигура γ0 ⊂ E3 называется элементарной линией,
                     если она гомеоморфна некоторому числовому про-
                     межутку.
      Примеры:
     1) Полуокружность ω с концами А и В гомеоморфна отрезку (рис.4),
поэтому полуокружность является элементарной линией (дугой).

                      A                         B


                              ω


                                           r rРис.4r
     2) Синусоиду γ : y =sin x в п.с.к. O, i , j , k можно задать уравнениями
x=t; y=sin t; z=0, которые устанавливают гомеоморфизм множества R на
синусоиду γ . Но R гомеоморфно оси Оx, тогда синусоида гомеоморфна
прямой и, следовательно, элементарная линия.
                        f : R → γ, ∀ t ∈ R f(t)=M(x,y,z) ∈ γ.

        Обобщая случай с синусоидой, можно задать гомеоморфизм f : I →
γ0 по правилу: ∀ (t ∈ I) f(t)=(x(t); y(t); z(t)), где x(t), y(t), z(t) –координаты
 r
r (t ) в (1). Следовательно, формулы
                                   X= x(t), y= y(t), z= z(t)                    (2)
осуществляют гомеоморфизм f и задают элементарную линию. Формулы
(2) называются параметрическими уравнениями линии γ0.


                                        10

Страницы