Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 12 стр.

                 2)Всякая простая линия либо является элементарной,
                  либо гомеоморфна окружности.



                              §3. Гладкие линии

     Определение 1: Элементарная линия γ0, определяемая параметри-
                     ческими уравнениями x=(x(t), y= y(t), z= z(t),
                     (1)
                      t ∈ I (t изменяется в промежутке I), называется
                     гладкой линией класса Сk, где k – некоторое нату-
                    ральное число, если функции x(t), y(t), z(t) имеют в
                    промежутке I непрерывные производные до порядка
                    k включительно, причем в каждой точке t ∈ I(рис.1).
                                     ранг x′, y′, z ′ =1.             (2)

        Гладкая линия
                                              Не гладкая линия




                                 Рис.1

       Замечание: Аналитически условие (2) означает, что производные
                 x′, y′, z ′ не обратятся в нуль одновременно ни при каком
                значении t ∈ I.

      Пример 1:
         Синусоида на плоскости Oxy определяется уравнениями
                              x = t , y = sin t , z = 0, t ∈ R .
x′ = 1, y′ = const , z ′ = 0 ⇒ условие (2) выполнено. Следовательно, сину-
соида – гладкая линия класса С ∞.

     Пример 2:
      Окружность на плоскости Oxy определяется параметрическими
уравнениями:
                    x = a cos t , y = a sin t , z = 0,0 ≤ t < 2π (3)
     Окружность не является элементарной линией. Это простая линия.
Её можно покрыть двумя дугами – элементарными линиями, каждая из ко-


                                    12