Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

14
()()
π
π
akka 2;12 − , внутри каждого из которых уравнения (4) определяют
гладкую линию. Следовательно, циклоида – кусочно-гладкая линия.
§ 4.Касательная. Длина дуги. Естественная параметризация.
Пусть гладкая линия γ
0
класса С
k
в п.с.к kjiO
r
r
r
,,, задана парамет-
рическими уравнениями:
x=(x (t), y= y (t), z= z (t), (1)
где
t∈I. Умножим уравнения (1) соответственно на kji
r
r
r
,, и сложим по-
членно, получим:
(
)
(
)
(
)
ktzjtyitxkzjyix
r
r
r
r
r
r
++=++ ,
или
(
)
trr
r
r
= (2)
(2) – уравнение линии γ
0
в векторной форме.
Условие гладкости:
ранг
dt
dz
dt
dy
dt
dx
,,
=1 (3)
означает, что
0
r
r
≠
d
t
rd
при любом t
∈
I.
Теорема: В каждой точке M гладкой линии γ
0
, заданной уравнением
(2), существует касательная прямая, которая определя-
ется точкой
M и направляющим вектором
d
t
rd
r
.
Доказательство :
Выберем на гладкой линии γ
0
две точки M и M
1
, определяемые ради-
ус-векторами
() ( )
ttrtr Δ+
r
r
, . Вектор
(
)
ttrr
Δ
+
=
Δ
r
r
является направляю-
щим вектором секущей MM
1
(рис.1).
Рис.1
dt
rd
r
dt
r
r
Δ
0
γ
r
r
Δ
)( ttr
Δ
+
r
)(tr
r
M
1
M
y
z
x
k
r
j
r
i
r
O
(2a(k − 1)π ;2akπ ), внутри каждого из которых уравнения (4) определяют
гладкую линию. Следовательно, циклоида – кусочно-гладкая линия.

     § 4.Касательная. Длина дуги. Естественная параметризация.

                                              k  r r r
      Пусть гладкая линия γ0 класса С в п.с.к O, i , j , k задана парамет-
рическими уравнениями:
                          x=(x (t), y= y (t), z= z (t),             (1)
                                                            r r r
где t∈I. Умножим уравнения (1) соответственно на i , j , k и сложим по-
членно, получим:               r                            r
                    r r                r          r
                   xi + yj + zk = x(t )i + y (t ) j + z (t )k ,
или
                         r r
                        r = r (t )                                  (2)
      (2) – уравнение линии γ0 в векторной форме.
      Условие гладкости:
                                    dx dy dz
                             ранг     , ,                =1               (3)
                                    dt dt dt
                     r
                    dr r
      означает, что    ≠ 0 при любом t∈ I.
                    dt
      Теорема: В каждой точке M гладкой линии γ0, заданной уравнением
               (2), существует касательная прямая, которая определя-
                                                       r
                                                      dr
                ется точкой M и направляющим вектором    .
                                                      dt
      Доказательство :
      Выберем на гладкой линии γ0 две точки M и M1, определяемые ради-
              r r                         r r
ус-векторами r (t ), r (t + Δt ). Вектор Δr = r (t + Δt ) является направляю-
щим вектором секущей MM1(рис.1).


                            z       γ0               r
                                           M        dr
                                                    dt
                                r               r
                                r (t )         Δr              T
                                                         M1
                            r                                  r
                            k             r                   Δr
                                          r (t + Δt )
                                                              dt
                          r O       r
                          i         j               y

                    x                    Рис.1


                                         14

Страницы