Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 15 стр.

      Когда Δ t → 0, точка M1 неограниченно приближается к точке M и в
пределе совпадает с ней. Касательная MT определяется как предельное по-
                                            r
                                          Δr
ложение секущей. Направляющий вектор          секущей в пределе при
                                      r    Δt
                                     dr
Δ t → 0 станет направляющим вектором    касательной MT,ч.т.д.
                                     dt

       Если параметр t меняется на отрезке [α ; t ] ⊂ I , то уравнения (1) опре-
деляют гладкую дугу γ1, с концами в точках A(x(α), y(α), z(α)) и B(x(t), y(t),
z(t)). Из курса математического анализа известно, что длина дуги γ1 вычис-
ляется по формуле:
                             t

                        s = ∫ x′ 2 + y′2 + z ′ 2 dt                         (4)
                            α

      или в векторной форме:
                                  r
                                 drt

                           s=∫      dt .                              (5)
                               α dt

      Следовательно, длина дуги s = s (t ) является функцией параметра t.
      Из (4) находим:
                               2      2       2  r
                    ds   ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞   dr
                       = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ =           .                        (6)
                    dt   ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠   dt

     Определение 1: Параметризация, при которой в качестве пара-
                   метра принимается длина дуги s, отсчитываемая от
                   некоторой точки этой линии, называется естест-
                   венной параметризацией.
     В естественной параметризации уравнение гладкой линии имеет вид:
                            x= x(s); y=y(s); z=z(s),
     где s – длина дуги, отсчитываемая от некоторой точки А. Тогда из
формулы (6) находим:
                              2      2       2    r
               ds       ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞     dr
                  = 1 ⇒ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1, или    = 1.
               ds       ⎝ ds ⎠ ⎝ ds ⎠ ⎝ ds ⎠     ds
            r
           dr
     Т.о.,    - единичный вектор касательной к линии в точке M. Бу-
           ds      r
дем обозначать его τ :
                        r
                     r dr
                    τ= .
                       ds


                                       15