Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

17
γ
p
r
0
r
r
2
2
ds
rd
ds
d
k
r
r
==
τ
; (2)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
ds
zd
ds
yd
ds
xd
k
. (2
/
)
Теорема 1: Для того, чтобы связная линия γ была простейшей (т.е.
прямой, отрезком или замкнутым лучом), необходимо и
достаточно, чтобы кривизна была равна нулю в каждой
точке этой линии.
Доказательство:
Простейшая линия определяется уравнением:
0
rspr
r
r
r
+
=
,
где s
∈
I, а
0
, rp
rr
- постоянные векторы (рис.2). Отсюда
.0;
2
==
ds
rd
p
ds
rd
r
r
r
Т.о., k=0
∀(s∈I).
Рис.2
Обратно: пусть для всех точек линии (1) k=0. Из (
/
2 ) имеем:
0
2
2
=
ds
xd
, 0
2
2
=
ds
yd
, 0
2
2
=
ds
zd
. Отсюда следует, что
1
p
ds
dx
=
;
2
p
ds
dy
=
;
3
p
ds
dz
=
, где
321
,, ppp – константы. Интегрируя, получаем:
030201
,, zspzyspyxspx
+
=
+
=
+=
, где s
∈
I.
Следовательно, линия γ определяется параметрическими уравнения-
ми, т.е. содержится в прямой с начальной точкой M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) и направ-
ляющим вектором
()
321
, pppp
r
.
Следовательно, это простейшая линия.
Теорема доказана. 
                                   r     r
                                  dτ  d 2r
                               k=    = 2 ;                                          (2)
                                  ds  ds
                                        2            2          2
                              ⎛d x⎞ ⎛d y⎞ ⎛d z⎞
                                    2            2          2

                          k = ⎜ 2 ⎟ +⎜ 2 ⎟ +⎜ 2 ⎟ .                                 (2/)
                              ⎝ ds ⎠ ⎝ ds ⎠ ⎝ ds ⎠
      Теорема 1: Для того, чтобы связная линия γ была простейшей (т.е.
                 прямой, отрезком или замкнутым лучом), необходимо и
                 достаточно, чтобы кривизна была равна нулю в каждой
                 точке этой линии.

      Доказательство:
      Простейшая линия определяется уравнением:
                                r r r
                                r = ps + r0 ,
                      r r
      где s ∈ I, а    p, r0 - постоянные                 векторы (рис.2). Отсюда
                    r         r
                  dr r d 2 r
                      = p;      = 0.
                   ds       ds
      Т.о., k=0 ∀ (s∈ I).            r
                                             p                         γ
                                   r
                                   r0



                                          Рис.2
      Обратно: пусть для всех точек линии (1) k=0. Из ( 2 / )                  имеем:
d x
  2
             d y
               2
                          d z
                          2
                                                                  dx           dy
     = 0  ,        = 0  ,      = 0 . Отсюда    следует,   что         =   p1
                                                                             ;    = p2 ;
ds 2         ds 2         ds 2                                    ds           ds
dz
    = p3 , где p1 , p2 , p3 – константы. Интегрируя, получаем:
ds
                x = p1 s + x0 , y = p2 s + y0 , z = p3 s + z0 , где s ∈ I.
      Следовательно, линия γ определяется параметрическими уравнения-
ми, т.е. содержится в прямой с начальной точкой M0 (x0, y0, z0) и направ-
                    r
ляющим вектором p( p1 , p2 p3 ) . Следовательно, это простейшая линия.
Теорема доказана.




                                            17

Страницы