Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

18
5.2 Вывод формул Френе. Кручение линии.
ds
rd
r
r
=
τ
─единичный вектор касательной. Следовательно,
0;1;1
2
=⋅==
ds
d
τ
τττ
r
rrr
, т.е. .,
ds
d
NN
τ
τ
r
r
r
r
=⊥
Определение 3: Прямая
(
)
NM
r
, называется главной нормалью
линии γ в точке M.
Главная нормаль
(
)
NM
r
, перпендикулярна к касательной
()
τ
r
,M .
Определение 4:
Вектор
v
N
N
r
r
r
=
называется единичным вектором
главной нормали.
vkNkN
r
r
r
== ; , т.е.
.vk
ds
d
r
r
=
τ
(3)
Определение 5: Вектор
[
]
v
r
r
r
,
τβ
= называется единичным векто-
ром бинормали, а прямая
(
)
β
r
,M ─ бинормалью
линии γ в точке M(рис.3).
Рис.3
Определение 6:
Точка M и тройка векторов
βτ
r
r
r
,,v определяют
ортонормированный репер R
M
, который называ-
ется
каноническим репером линии γ в точке M.
R
M
=
(
)
βτ
r
r
r
,,, vM
Замечания:
β
r
v
r
М
τ
r
                 5.2 Вывод формул Френе. Кручение линии.
          r
       r dr
     τ = ─единичный вектор касательной. Следовательно,
         ds      r                         r
r     r2    r dτ              r r r dτ
τ = 1;τ = 1;τ ⋅    = 0 , т.е. τ ⊥ N , N =    .
                ds                r       ds
  Определение 3: Прямая M , N ) называется главной нормалью
                              (
                  линии γ rв точке M.
                       (      )                              r
    Главная нормаль M , N перпендикулярна к касательной (M , τ ) .
                          r
                          N r
    Определение 4: Вектор r = v называется единичным вектором
                          N
                    главной нормали.
       r      r    r
      N = k ; N = kv , т.е.
                              r
                          dτ         r
                                 = kv .                         (3)
                            ds r
                                   r r
    Определение 5: Вектор β = [τ , v ] называется единичным векто-
                                                    r
                                                   (   )
                    ром бинормали, а прямая M , β ─ бинормалью
r                          линии γ в точке M(рис.3).
β
            r
            v

М


       r                   Рис.3
      τ
                                             r r r
    Определение 6: Точка M и тройка векторов τ , v , β определяют
                      ортонормированный репер RM, который называ-
                      ется каноническим репером линии γ в точке M.
                                      r r r
                                   (
                             RM = M , τ , v , β)
    Замечания:




                                   18

Страницы