Составители:
Рубрика:
19
1) Из определения 6 следует, что в
∀
точке M гладкой
линии, в которой кривизна
0≠=
ds
d
k
τ
r
, можно постро-
ить канонический репер.
2) Координатные плоскости репера
R
M
носят названия:
()
vM
r
r
;;
τ
– соприкасающаяся плоскость
(
если линия плоская, то она лежит в соприкасающейся плоскости);
(
)
β
r
r
,,vM
– нормальная плоскость;
(
)
βτ
r
r
,,M – спрямляющая плоскость.
Т.к.
N
N
v
r
r
r
=
─ единичный, то v
ds
vd
r
r
⊥ , т.е.
ds
vd
r
║
(
)
βτ
r
r
,,M и его
можно разложить по векторам
τ
r
и
β
r
:
βχτα
r
r
r
+=
ds
vd
(4)
Тождество 0=⋅v
r
r
τ
дифференцируем по параметру s:
0=⋅+⋅
ds
vd
v
ds
d
r
rr
r
τ
τ
Подставим формулы (3) и (4), получим:
.
0
22
k
vk
−
=
=++
α
βτχτα
r
r
r
r
С учетом этого формула (4) примет вид:
βχτ
r
r
r
+−= k
ds
vd
(5)
Тождество
[]
v
rr
r
,
τβ
=
дифференцируем по s:
.,,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
ds
vd
v
ds
d
ds
d
r
rr
r
r
τ
τβ
Используя формулы (3) и (5), получаем:
[]
()
[]
[
]
βτχττ
β
r
rrrrr
r
,,, +−+= kvvk
ds
d
v
ds
d
r
r
χ
β
−=
(6)
Определение 7:
Число
χ
называется кручением линии γ в точке M.
1) Из определения 6 следует, что в ∀ точке M гладкой r dτ линии, в которой кривизна k = ≠ 0 , можно постро- ds ить канонический репер. 2) Координатные плоскости репера RM носят названия: (M ;τr; vr ) – соприкасающаяся плоскость (если линия плоская, тоrона лежит в соприкасающейся плоскости); ( r ) M , v , β – нормальная плоскость; r r r ( ) M , τ , β – спрямляющая плоскость. r r r r r N Т.к. v = r ─ единичный, то dv r ds ⊥ v , т.е. dv ds ( ║ M , τ , β и его ) N r r можно разложить по векторам τ и β : r r dv r = ατ + χβ (4) r r ds Тождество τ ⋅ v = 0 дифференцируем по параметру s: r r dτ r r dv ⋅v +τ ⋅ =0 ds ds Подставим формулы (3) и (4), получим: r2 r2 rr kv + ατ + χτ β = 0 α = −k . С учетом этого формула (4) примет вид: r r dv r = −kτ + χβ (5) r ds r r Тождество β = [τ , v ] дифференцируем по s: r r r dβ ⎡ dτ r ⎤ ⎡ r dv ⎤ = ⎢ , v ⎥ + ⎢τ , ⎥. ds ⎣ ds ⎦ ⎣ ds ⎦ Используя формулыr (3) и (5), получаем: dβ ds r r r r [ ] r r = [kv , v ] + [τ , (− kτ )] + χ τ , β r dβ r = − χv (6) ds Определение 7: Число χ называется кручением линии γ в точке M. 19
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »