Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

19
1) Из определения 6 следует, что в
∀
точке M гладкой
линии, в которой кривизна
0≠=
ds
d
k
τ
r
, можно постро-
ить канонический репер.
2) Координатные плоскости репера
R
M
носят названия:
()
vM
r
r
;;
τ
– соприкасающаяся плоскость
(
если линия плоская, то она лежит в соприкасающейся плоскости);
(
)
β
r
r
,,vM
– нормальная плоскость;
(
)
βτ
r
r
,,M – спрямляющая плоскость.
Т.к.
N
N
v
r
r
r
=
─ единичный, то v
ds
vd
r
r
⊥ , т.е.
ds
vd
r
║
(
)
βτ
r
r
,,M и его
можно разложить по векторам
τ
r
и
β
r
:
βχτα
r
r
r
+=
ds
vd
(4)
Тождество 0=⋅v
r
r
τ
дифференцируем по параметру s:
0=⋅+⋅
ds
vd
v
ds
d
r
rr
r
τ
τ
Подставим формулы (3) и (4), получим:
.
0
22
k
vk
−
=
=++
α
βτχτα
r
r
r
r
С учетом этого формула (4) примет вид:
βχτ
r
r
r
+−= k
ds
vd
(5)
Тождество
[]
v
rr
r
,
τβ
=
дифференцируем по s:
.,,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
ds
vd
v
ds
d
ds
d
r
rr
r
r
τ
τβ
Используя формулы (3) и (5), получаем:
[]
()
[]
[
]
βτχττ
β
r
rrrrr
r
,,, +−+= kvvk
ds
d
v
ds
d
r
r
χ
β
−=
(6)
Определение 7:
Число
называется кручением линии γ в точке M. 
                 1) Из определения 6 следует, что в ∀ точке M гладкой
                                                r
                                               dτ
                 линии, в которой кривизна k =    ≠ 0 , можно постро-
                                               ds
                 ить канонический репер.
                2) Координатные плоскости репера RM носят названия:
                   (M ;τr; vr ) – соприкасающаяся плоскость
      (если линия плоская, тоrона лежит в соприкасающейся плоскости);
                          (
                          r
                                         )
                      M , v , β – нормальная плоскость;
                        r r
              r
                      (              )
                    M , τ , β – спрямляющая плоскость.
                                         r             r
                                                               r r
          r N
    Т.к. v = r ─ единичный, то
                                       dv r
                                       ds
                                           ⊥ v , т.е.
                                                      dv
                                                      ds
                                                                         (
                                                         ║ M , τ , β и его   )
             N
                              r r
можно разложить по векторам τ и β :
                                  r            r
                                dv       r
                                    = ατ + χβ                           (4)
                r r             ds
    Тождество τ ⋅ v = 0 дифференцируем по параметру s:
                                 r           r
                              dτ r r dv
                                   ⋅v +τ ⋅     =0
                               ds          ds
    Подставим формулы (3) и (4), получим:
                              r2      r2     rr
                             kv + ατ + χτ β = 0
                                     α = −k .
     С учетом этого формула (4) примет вид:
                                                     r          r
                                                    dv     r
                                                       = −kτ + χβ                (5)
                  r                                 ds
                          r r
     Тождество   β = [τ , v ] дифференцируем по s:
                                r     r            r
                              dβ ⎡ dτ r ⎤ ⎡ r dv ⎤
                                  = ⎢ , v ⎥ + ⎢τ , ⎥.
                                    ds       ⎣ ds    ⎦ ⎣    ds ⎦
     Используя формулыr (3) и (5), получаем:
                              dβ
                              ds
                                     r r        r       r
                                                                [ ]
                                                                 r r
                                 = [kv , v ] + [τ , (− kτ )] + χ τ , β
                                           r
                                        dβ           r
                                              = − χv                             (6)
                                         ds


     Определение 7: Число χ называется кручением линии γ в точке M.


                                               19

Страницы