Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

21
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅⋅=
3
3
2
2
2
1
ds
rd
ds
rd
ds
rd
k
r
r
r
χ
(7)
5.4 Свойства плоской линии
1
0
. Соприкасающаяся плоскость
(
)
vM
r
r
,,
τ
плоской линии совпа-
дает с плоскостью линии.
Доказательство:
Пусть плоская линия γ лежит в плоскости σ. Все-
гда можно выбрать п.с.к.
kjiO
r
r
r
,,, таким образом, чтобы плос-
кость
Oxy совпала с σ. Тогда векторы jir
r
r
r
,, компланарны и
(
)
(
)
.
;
;
;
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
j
ds
yd
i
ds
xd
ds
rd
j
ds
yd
i
ds
xd
ds
rd
j
ds
dy
i
ds
dx
ds
rd
jsyisxr
rr
r
rr
r
rr
r
r
r
r
+=
+=
+=
+=
Из первых двух равенств следует, что векторы
ds
rd
r
r
=
τ
и
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
2
2
ds
rd
vkv
r
rr
параллельны σ= Oxy
.
Следовательно,
(
)
=vM
r
r
,,
τ
σ.
2
0
. Главная нормаль
(
)
vM
r
, плоской линии лежит в плоскости
линии
.
Доказательство: Из (1
0
) ⇒ v
r
||σ. Следовательно,
()
vM
r
, принад-
лежит σ.
3
0
. Кручение плоской линии во всех точках равно нулю.
Доказательство: Из (7)
⇒
для плоской линии 0
1
2
2
===
ρχ
k
.
4
0
. Если во всех точках гладкой линии кручение χ равно нулю,
то линия плоская. 
                                 r   2r  3r
                         1    ⎛ dr d r d r ⎞
                      χ= 2    ⎜    ⋅ 2 ⋅ 3⎟                             (7)
                        k     ⎝ ds ds ds ⎠


                        5.4 Свойства плоской линии
                                             r r
     10. Соприкасающаяся плоскость (M , τ , v ) плоской линии совпа-
         дает с плоскостью линии.
     Доказательство: Пусть плоская линия
                                     r r r γ лежит в плоскости σ. Все-
         гда можно выбрать п.с.к. O, i , j , k таким образом, чтобы плос-
                                                 r r r
        кость Oxy совпала с σ. Тогда векторы r , i , j компланарны и
                             r        r         r
                             r = x(s )i + y (s ) j ;
                               r
                             dr dx r dy r
                                  = i+          j;
                             ds ds         ds
                                 r
                             d 2r d 2 x r d 2 y r
                                   =     i + 2 j;
                             ds 2 ds 2        ds
                               3r
                             d r d x r d3y r
                                       3

                                   =     i + 3 j.
                             ds 3 ds 3        ds
                                                                    r
                                                                 r dr
        Из первых двух равенств следует, что векторы τ =              и
                                                                   ds
         2r
r⎛ r d r ⎞                                            r r
v ⎜ kv = 2 ⎟ параллельны σ= Oxy . Следовательно, (M , τ , v ) = σ.
  ⎝     ds ⎠
                                  r
        20. Главная нормаль (M , v ) плоской линии лежит в плоскости
            линии.
                                    r                        r
        Доказательство: Из (10) ⇒ v ||σ. Следовательно, (M , v ) принад-
            лежит σ.

        30. Кручение плоской линии во всех точках равно нулю.
                                                              1
        Доказательство: Из (7) ⇒ для плоской линии       χ=       = ρ2 = 0.
                                                              k 2




        40. Если во всех точках гладкой линии кручение χ равно нулю,
            то линия плоская.




                                   21

Страницы