Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

23
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=⇒=
=⇒=
≠
⇒
=
+
.0,0
,0
0,01
χλχ
λ
λ
λ
λ
const
ds
d
k
Следовательно, по свойству 4
0
, линия γ плоская. А так как λ =const, то из
первого уравнения системы
.0
1
≠=−= constk
λ
Из равенства (8):
()
.
1
;
2
22
constrOM
vconstr
v
r
==
===
=
r
rr
r
r
λ
λ
Таким образом, все точки плоской линии γ равноудалены от точки О. Сле-
довательно, γ – окружность.
Обратно: если γ – окружность, то
τ
r
r
r
=⊥
ds
rd
MO
в
∀
M.
MOvv
r
rrr
⇒⊥
τ
.Следовательно, все главные нормали прохо-
дят через центр окружности О.
§6. Вычисление кривизны и кручения в произвольной
параметризации.
Пусть линия γ задана в произвольной параметризации уравнением
)(
t
r
r
r
r
=
,
(1)
где
t∈I ( t меняется в промежутке I). Допустим, что функция S = h(t) опре-
деляет замену параметра. Тогда в естественной параметризации линия γ
определяется уравнением:
)(sRr
r
r
= ,
или
))(( thRr
r
r
= .
r
d
t
ds
ds
rd
d
t
rd
r
′
⋅=⋅==
′
rr
r
r
r
τ
; (2) 
                           ⎧1 + λk = 0, ⇒ λ ≠ 0
                           ⎪⎪ dλ
                            ⎨ = 0, ⇒ λ = const
                            ⎪ ds
                            ⎪⎩λχ = 0, ⇒ χ = 0.
Следовательно, по свойству 40, линия γ плоская. А так как λ =const, то из
первого уравнения системы
                                      1
                               k =−       = const ≠ 0.
                                      λ


Из равенства (8):             r     r
                              r = λv ;
                              r 2 = λ2 = const ( v = 1)
                              r                  r
                                        r
                              OM = r 2 = const.
Таким образом, все точки плоской линии γ равноудалены от точки О. Сле-
довательно, γ – окружность.
                                           r drr r
         Обратно: если γ – окружность, то OM ⊥    = τ в ∀ M.
                                               ds
            r r      r r
           v ⊥ τ ⇒ v OM .Следовательно, все главные нормали прохо-
      дят через центр окружности О.


              §6. Вычисление кривизны и кручения в произвольной
                               параметризации.

      Пусть линия γ задана в произвольной параметризации уравнением
                                                      r r
                                                      r = r (t ) ,
                                     (1)
где t∈ I ( t меняется в промежутке I). Допустим, что функция S = h(t) опре-
деляет замену параметра. Тогда в естественной параметризации линия γ
определяется уравнением:
                                 r r
                                 r = R(s ) ,
                                  r r
                            или r = R ( h(t )) .
                                  r   r
                            r dr dr ds r r
                            r′ =    = ⋅ =τ ⋅ r′ ;                       (2)
                                 dt ds dt


                                    23

Страницы