Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 24 стр.

                        r   r       r                   2
               r d 2 r d 2 r ds ds dr d 2 s    r ⎛ ds ⎞ r d 2 s
               r ′′ = 2 = 2 ⋅ ⋅ +     ⋅     = kv ⎜ ⎟ + τ ⋅ 2 .
                     dt   ds dt dt ds dt 2       ⎝ dt ⎠   dt
                                             (3)
                              r
                      r ⎛d r ⎞         2

Следовательно, вектор r ′′⎜ 2 ⎟ параллелен соприкасающейся плоскости
                          ⎝ dt ⎠
    r r
(M ,τ , v ).
Найдем векторное произведение:
                                               ⎛
                                                      3
                                                 ds ⎞ r r            r
                              [r ′, r ′′] = k ⎜ ⎟ [τ , v ] = k rr′ 3 β .
                               r r
                                                                                         (4)
                                               ⎝ dt ⎠
                                     [rr′, rr′′] = k rr′ 3 .
Таким образом,
                                  r
                               r  r′           ⎫
                              τ= r ,           ⎪
                                  r′
                                               ⎪
                               r [rr′, rr′′] ⎪
                              β = r r ,⎬                                                 (5)
                                  [r ′, r ′′] ⎪
                              r r r
                                       [ ]
                              v = β ,τ . ⎪
                                               ⎪
                                               ⎭
                                      r r
                                     [r ′, r ′′]
                                k= r 3 .                                                 (6)
                                        r′


     Формулы (5) позволяют найти канонический   репер
                               r r r
                                   (
                      RM = M , τ , v , β ;         )
     (6) – кривизну k. Выведем формулу для кручения χ.
     Из формулы (3) имеем:
                   r              r       3
         r      d 3r  r    r    dv ⎛ ds ⎞ (5 )
         r ′′′ = 3 = pτ + qv + k ⎜ ⎟ =
                dt              ds ⎝ dt ⎠
                                               r ⎛ ds ⎞ 3           r 3r
                             r   r          r
                                                   (      r  r
                                                               )
                        = pτ + qv + k − kτ + χβ ⎜ ⎟ = p′τ + qv + kχ r ′ β
                                                 ⎝ dt ⎠
                      r 3r r r
     По формуле (4) k r ′ β = [r ′, r ′′] . Тогда
                          r         r       r      r r
                          r ′′′ = p′τ + qv + χ [r ′, r ′′];
                                  r r r           r r r                   r r 2
     Смешанное произведение (r ′, r ′′, r ′′′) = [r ′, r ′′] ⋅ r ′′′ = χ [r ′, r ′′] .

                                             24