Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

22
Доказательство: Из формулы (6): b
ds
d
r
r
r
==
β
β
;0 , где
b
r
- посто-
янный вектор, не зависящий от s. Пусть
(
)
321
,, bbbb
r
в базисе
kji
r
rr
,,
.
0=⋅⇒⊥⇒⊥
τττβ
r
r
r
r
r
r
bb , т.е. 0
)(
=
ds
rbd
r
r
.
В координатах:
(
)
(
)
(
)
cbszbsybsx
=
+
+
321
.
Таким образом, координаты x; y; z всех точек линии удовле-
творяют уравнению:
(
)
00
321
=
+
+
=
−++ CzByAxczbybxb
,
которое задает в п.с.к.
kjiO
r
r
r
,,,
плоскость. Следовательно, линия γ пло-
ская.
Задача: Доказать, что гладкая линия в пространстве является окруж-
ностью (или её частью)
⇔
, когда все её главные нормали
проходят через одну точку.
Решение:
Пусть линия γ задана в естественной параметризации уравнением
)(
s
r
r
r
r
=
, (1)
причем за начало координат выбрана точка О, через которую проходят все
главные нормали. Тогда
∀(M
γ) векторы
M
O
r
=
r
r
и v
r
коллинеарны (т.к.
по условию вектор
v
r
главной нормали проходит через точку O, то он кол-
линеарен
M
O
r
=
r
r
). Следовательно,
()
consts
v
r
≠=
=
λλ
λ
r
r
(8)
Дифференцируем (8) по длине дуги (по параметру s) и пользуемся форму-
лами Френе:
()
(
)
()
01
;
5
rr
rr
r
rrr
=−−+
+−+=
βλχ
λ
τλ
βχτλ
λ
v
ds
d
k
kv
ds
d
r
Так как векторы
βτ
r
r
r
;; v
некомпланарные (линейно независимые), то из по-
следнего равенства: 
                                                r
                                             dβ            r r        r
        Доказательство: Из формулы (6):             = 0; β = b , где b - посто-
                                         r ds                     r r r
янный вектор, не зависящий от s. Пусть b (b1 , b2 , b3 ) в базисе i , j , k .
                                                    rr
            r r       r r      r r             d (b r )
           β ⊥ τ ⇒ b ⊥ τ ⇒ b ⋅ τ = 0 , т.е.               = 0.
                                                  ds
           В координатах: x(s )b1 + y (s )b2 + z (s )b3 = c .
           Таким образом, координаты x; y; z всех точек линии удовле-
      творяют уравнению:
            xb1 + yb2 + zb3 − c = 0( Ax + By + Cz = 0),
                           r r r
которое задает в п.с.к. O, i , j , k плоскость. Следовательно, линия γ пло-
      ская.

      Задача: Доказать, что гладкая линия в пространстве является окруж-
             ностью (или её частью) ⇔ , когда все её главные нормали
             проходят через одну точку.
      Решение:
      Пусть линия γ задана в естественной параметризации уравнением
                              r r
                              r = r (s ) ,                            (1)
причем за начало координат выбрана точка О, rчерез которую проходят все
                                                 r r
главные нормали. Тогда
                   r    ∀ ( M ∈ γ ) векторы OM = r и v коллинеарны (т.к.
            r r v главной нормали проходит через точку O, то он кол-
по условию вектор
линеарен OM = r ). Следовательно,
                               r    r
                               r = λv
                                                                            (8)
                               λ = λ (s ) ≠ const
Дифференцируем (8) по длине дуги (по параметру s) и пользуемся форму-
лами Френе:
                             r ( 5 ) dλ r             r
                             r=
                                     ds
                                           (     r
                                                      )
                                        v + λ − kτ + χβ ;

                             (1 + λk )τr − dλ vr − λχβ = 0
                                                      r r
                                             ds
                  r r r
Так как векторы τ ; v ; β некомпланарные (линейно независимые), то из по-
следнего равенства:




                                      22

Страницы