Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 20 стр.

     Замечания:
               1)Абсолютное значение и знак кручения следующие:
                                     r
                                 dβ        r
     Из формулы (6) ⇒ , что   χ =    (т.к. v = 1 ). Причем χ >0   ⇔ , когда
                                 ds
              r                      r
        r    dβ                r dβ
векторы v ↓↑    ; χ<0 ⇔ ,когда v ↑↑    .
             ds                     ds
                2) На всей линии γ χ – функция параметра s.
     Формулы Френе, на применении которых основана теория гладких
     линий, следующие:
                               r
                              dτ    r
                                 = kv ,                                 (3)
                              ds
                               r          r
                              dv      r
                                 = −kτ + χβ ,
                              ds
                               r                                     (5),(6)
                              dβ        r
                                 = − χv .
                              ds


                5.3 Формула для вычисления кручения.

     Пусть линия γ задана в естественной параметризации уравнением
                               r r
                               r = r (s )                               (1)
     Из (3) имеем:
                                       r
                                    d 2r    r
                                         = kv .
                                    ds 2


     Дифференцируя и используя (5), получим:
                             r               r dk r
                          d 3r       2r
                               = − k τ  + kχβ + v.
                          ds 3                 ds


     Тогда смешанное произведение:
       r       r     r                    r dk r ⎞
      dr d 2 r d 3 r r r ⎛ 2 r                           rr r     dk rr r
          ⋅ 2 ⋅ 3 = τ (kv ) ⋅ ⎜ − k τ + kχβ + v ⎟ = − k 3τ v τ + k τ v v
      ds ds ds                ⎝              ds ⎠                 ds
             rr  r
      + k 2 χτ v β = k 2 χ
     Отсюда



                                    20