Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 26 стр.

     Определение 1: Элементарная линия, определяемая уравнениями
                 (1) , называется обыкновенной винтовой линией.

     Замечания:
               1) Из уравнения (1) ⇒ , что винтовая линия – гладкая
                   класса C .
                               ∞


               2) Так как х + y = a , то все точки линии принадлежат
                             2     2     2


                   прямому круговому цилиндру с осью Oz.
     Уравнение (1) можно записать в виде векторного
                                               r    уравнения:
                   r r             r
                   r = i a cos t + j a sin t + k bt               (2)
                                                            ⎛ r rr ′ ⎞
     Используя первую из формул (5) предыдущего §6 ⎜⎜τ = r ⎟⎟ , полу-
                                                            ⎝    r′ ⎠
                  чим:                                  r
                                  r         r
                            r − i a sin t + j a cos t + k b
                            τ =                                        (3)
                                          a2 + b2
                                                               r
                                                     r r dr r
      Обозначим через ϕ угол между векторами τ ↑↑ r ′ =          иk.
                                                              dt
                    r r
            cos ϕ = τ ⋅ k . Учитывая (3), имеем:
                                        b
                            cos ϕ =            = const.
                                     a +b
                                       2     2


      Следовательно, винтовая линия пересекает все прямолинейные об-
разующие цилиндра под постоянным углом ϕ .
      Используя формулу (6) §4
          2      2       2  r
 ds ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞   dr
( = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ),
 dt ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠   dt
в случае винтовой линии имеем:
                              ds
                                  = a2 + b2 .
                           r dtr
                          dτ dτ dt         a    r         r
                            =    ⋅ =− 2        (i cos t + j sin t )
                          ds dt ds      a + b2
                                   (4)
                    r
                   dτ
                      = kv (k ≥ 0, v = 1) поэтому из (4) следует:
                         r         r
По формуле Френе
                   ds               r        r
                             v = −(i cos t + j sin t );
                             r




                                   26