Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 27 стр.

                                             a
                                    k=            = const.
            r r            r             a 2 + b2             r r
       Но OP = i a cos t + j a sin t ; следовательно, OP = − av .
                                              r
Следовательно, главной нормалью (M ; v ) винтовой линии в точке M слу-
жит перпендикуляр к оси Oz :                        r
                                        r
                                        v ↑↓ OP .           r
                          r       r               r
                          r ′ = −i a sin t + j a cos t + k b;
                                   r                 r
                          r ′′ = −(i a cos t + j a sin t );
                          r
                          r      r               r
                            ′′′
                          r = i a sin t − j a cos t.
                                      r r r
                                     (r ′, r ′′, r ′′′)
       Подставим в формулу χ = r r 2 :
                                       [r ′, r ′′]
            − a sin t   − a cos t    a sin t
             a cos t    − a sin t   − a cos t
                b           0           0       ba 2      b
       χ=                              r2 = 2 2       =        .
               − a sin t   − a cos t i        a b + a4 a2 + b2
                                       r
                a cos t    − a sin t j
                                       r
                   b           0       k

                                            b
                                χ=               = const.
                                         a2 + b2

       Таким образом, кривизна k и кручение χ обыкновенной винтовой
линии постоянны. Знак кручения совпадает со знаком числа b .




                                          27