Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

28
Раздел II. Поверхности в евклидовом пространстве.
§1. Векторная функция двух скалярных аргументов.
Пусть V – трехмерное векторное пространство над полем R, а G -
двумерный промежуток (т.е. арифметическое пространство R
2
=R
x
R; либо
замкнутое полупространство R
2
+
={(u,v)
∈
R
2
│ v≥ 0 }; либо числовой квад-
рат {(u,v)
∈R
2
│ 0 au ≤
≤
; av
≤
≤
0 ; 0>a }. Если по некоторому закону
каждой точке
()
Gu ∈
ν
, поставлен в соответствие определенный вектор
()
ν
,ur
r
из V, то говорят, что в двумерном промежутке G задана вектор-
ная функция
()
ν
,ur
r
двух скалярных аргументов
ν
,u .
Определение 1: Векторная функция
(
)
ν
,ur
r
называется беско-
нечно малой вблизи точки (u
0
,v
0
), если числовая
функция
│
(
)
ν
,ur
r
│ бесконечно мала вблизи
точки(u
0
,v
0
).
Пишут:
()( )
()
0,lim
00
,,
=
→
ν
νν
ur
uu
r
Определение 2: Пределом векторной функции
()
ν
,ur
r
при (u,v)
→
(u
0
,v
0
) называется такой постоянный вектор a
r
,
что
(
)
aur
r
r
−
ν
,
есть бесконечно малый вектор
вблизи точки (u
0
,v
0
), т.е.
()( )
)
0,lim
00
,,
=
−
→
aur
uu
r
r
ν
νν
Пишут:
()( )
()
aur
uu
r
r
=
→
ν
νν
,lim
00
,,
Определение 3:
Векторная функция
(
)
ν
,ur
r
называется непре-
рывной в точке (u
0
,v
0
)∈G, если
()( )
)
)
00
,,
,,lim
00
ν
ν
νν
urur
uu
r
r
=
→
.
Функция
(
)
ν
,ur
r
непрерывная в
∀
точке промежутка G, называется
непрерывной в этом промежутке.
Разложим вектор
()
ν
,ur
r
по векторам базиса kji
r
r
r
,, :
.),(),(),(),( kuzjuyiuxur
r
r
r
r
νννν
++=
(1)
Когда точка (u,v) пробегает промежуток G, то коэффициенты
x(u,v), y(u,v), z(u,v) меняются, т.е. являются функциями аргументов u,v,
определенными в промежутке G. 
               Раздел II. Поверхности в евклидовом пространстве.

              §1. Векторная функция двух скалярных аргументов.

        Пусть V – трехмерное векторное пространство над полем R, а G -
двумерный промежуток (т.е. арифметическое пространство R2=RxR; либо
замкнутое полупространство R2+ ={(u,v) ∈ R2│ v ≥ 0 }; либо числовой квад-
рат {(u,v) ∈ R2│ 0 ≤ u ≤ a ; 0 ≤ v ≤ a ; a > 0 }. Если по некоторому закону
каждой точке (u ,ν ) ∈ G поставлен в соответствие определенный вектор
r
r (u,ν ) из V, то говорят, что в двумерном промежутке G задана вектор-
               r
ная функция r (u,ν ) двух скалярных аргументов u ,ν .
                                                                       r
       Определение 1: Векторная функция r (u,ν ) называется беско-
                             нечно малой вблизи точки (u0,v0), если числовая
                                            r
                             функция │ r (u,ν ) │ бесконечно мала вблизи
                             точки(u0,v0).
                               r
       Пишут: ( u ,νlim
                    )→( u ,ν )
                             0
                               r (u,ν ) = 0
                                     0



                                                                                          r
       Определение 2: Пределом векторной функции r (u,ν ) при (u,v)
                                                                 r
                    →(u0,v0) называется такой постоянный вектор a ,
                         r         r
                    что r (u,ν ) − a есть бесконечно малый вектор
                    вблизи точки (u0,v0), т.е.
                                                                       r           r
                                                           lim
                                                     ( u ,ν )→( u ,ν )
                                                                       r (u ,ν ) − a =0
                               r           r                0   0


       Пишут: ( u ,νlim
                    )→( u ,ν )
                         0
                               r (
                                 0
                                  u ,ν ) = a

                                                                     r
       Определение 3: Векторная функция r (u,ν ) называется непре-
                     рывной              в   точке       (u0,v0)∈G, если
                                       r   r
                           lim r (u,ν ) = r (u0 ,ν 0 ) .
                     ( u ,ν )→( u ,ν )
               r                             0   0


       Функция r (u,ν ) непрерывная в ∀ точке промежутка G, называется
непрерывной в этом промежутке.
                                         r                                      r r r
       Разложим вектор r (u,ν ) по векторам базиса i , j , k :
                             r                  r             r            r
                             r (u ,ν ) = x(u,ν )i + y (u ,ν ) j + z (u ,ν )k .
                          (1)
        Когда точка (u,v) пробегает промежуток G, то коэффициенты
x(u,v), y(u,v), z(u,v) меняются, т.е. являются функциями аргументов u,v,
определенными в промежутке G.


                                                      28

Страницы