Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

30
называется дифференциалом векторной функции
(
)
ν
,ur
r
в точке (
ν
,u ).
Но
()
ν
ν
ν
d
d
dx
du
du
dx
udx +=
,
;
ν
ν
d
d
dy
du
du
dy
dy +=
;
ν
ν
d
d
dz
du
du
dz
dz +=
;
Учитывая (2), имеем:
+= i
du
dx
r
u
r
r
+j
du
dy
r
k
du
dz
r
; += i
d
dx
r
r
r
ν
ν
+j
d
dy
r
ν
k
d
dz
r
ν
;
.
ν
ν
drdurrd
u
r
r
r
+
=
(
/
3
)
Определение 7: Векторная функция
(
)
ν
,ur
r
называется дифферен-
цируемой в точке (
ν
,u ), если существует диффе-
ренциал
r
d
r
. Функция
(
)
ν
,ur
r
называется диффе-
ренцируемой в промежутке G, если она дифферен-
цируема в каждой точке этого промежутка.
§2. Понятие поверхности.
На евклидовой плоскости E
2
зададим прямоугольную систему коорди-
нат
jiO
r
r
и рассмотрим гомеоморфизм φ: Е
2
→R
2
по правилу:
∀(M(x;y)∈E
2
) φ(M)=(x;y); (x;y)
R
2
- точка в R
2
(арифметическом
пространстве). Таким образом, можно отождествить числовое пространст-
во R
2
с плоскостью E
2
, числовое полупространство R
2
+
с замкнутой полу-
плоскостью y
≥ 0; числовой квадрат с квадратом OABC(рис.1).
Рис.1
С
i
r
АО
),( aaB
x
y
j
r
                                                               r
называется дифференциалом векторной функции r (u,ν ) в точке ( u ,ν ).
                                dx      dx                                dy      dy
Но                dx(u ,ν ) =      du +    dν ;                    dy =      du +    dν ;
                                du      dν                                du      dν
       dz      dz
dz =      du +    dν ;
       du      dν
                     r dx r dy r dz r r dx r dy r dz r
Учитывая (2), имеем: ru =    i+    j+    k ; rν =    i+    j+    k;
                          du    du    du          dν    dν    dν
                                       r r         r
                                      dr = ru du + rν dν .                           ( 3/ )

                                                      r
       Определение 7: Векторная функция r (u,ν ) называется дифферен-
                     цируемой в точке ( u ,ν ), если существует диффе-
                               r            r
                     ренциал dr . Функция r (u,ν ) называется диффе-
                     ренцируемой в промежутке G, если она дифферен-
                     цируема в каждой точке этого промежутка.



                            §2. Понятие поверхности.

    На евклидовой
        rr          плоскости E2 зададим прямоугольную систему коорди-
нат Oi j и рассмотрим гомеоморфизм φ: Е2 →R2 по правилу:
∀ (M(x;y)∈ E2)      φ(M)=(x;y); (x;y) ∈ R2 - точка в R2 (арифметическом
пространстве). Таким образом, можно отождествить числовое пространст-
во R2 с плоскостью E2, числовое полупространство R2+ с замкнутой полу-
плоскостью y ≥ 0; числовой квадрат с квадратом OABC(рис.1).
                           y


                           С                  B ( a, a )
                            r
                            j
                                  r
                            О     i       А                x
                                              Рис.1




                                         30

Страницы