Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

29
Определение 4:
Функции x(u,v), y(u,v), z(u,v) называются коорди-
натами векторной функции
()
ν
,ur
r
в базисе
kji
r
r
r
,, .
Замечание
:
1) Если
()( )
()
aur
uu
r
r
=
→
ν
νν
,lim
00
,,
и kajaiaa
r
r
r
r
321
++= , то при
(u,v) →(u
0
,v
0
) lim x(u,v) =
1
a ;
lim y(u,v) =
2
a ; lim z(u,v)
=
3
a .
2) Если положить
const
=
=
0
ν
ν
, то функция
()
ν
,ur
r
станет
функцией одной скалярной переменной
()
0
,
ν
ur
r
.
Определение 5:
Если в некоторой точке u векторная функция
()
0
,
ν
ur
r
имеет производную
du
urd
),(
0
ν
r
, то она на-
зывается
частной производной векторной функ-
ции
)
ν
,ur
r
по переменной u в точке (u,v
0
) и обо-
значается
u
r
du
rd
r
r
=
.
Аналогично определяется частная производная
ν
ν
r
d
rd
r
r
= .
Замечание: Из (1) следует, что векторная функция
()
0
,
ν
ur
r
имеет
координаты x(u
1
,v
0
), y(u
1
,v
0
), z(u
1
,v
0
). Поэтому частные
производные в точке (u,v)
∈
G
u
r
r
и
v
r
r
существуют
⇔
,
когда существуют в этой точке частные производные
du
udx
x
u
),(
ν
= ;
du
udy
y
u
),(
ν
= ;
du
udz
z
u
),(
ν
= ;
ν
ν
ν
d
udx
x
),(
=
;
ν
ν
ν
d
udy
y
),(
=
;
ν
ν
ν
d
udz
z
),(
=
.
Причем
kzjyixr
uuuu
r
r
r
r
++=
;
kzjyixr
r
r
r
r
νννν
++=
(2)
Определение 6: Если в равенстве (1) функции x(u,v), y(u,v), z(u,v)
дифференцируемы в точке (u,v)
∈
G, то вектор
()
)
)()
.,,,, kudzjudyiudxurd
r
r
r
r
νννν
++=
(3) 
     Определение 4: Функции x(u,v), y(u,v), z(u,v) называются коорди-
                                                       r
                    натами векторной функции r (u,ν ) в базисе
                                r r r
                                i , j, k .
     Замечание:                                                  r
                              r          r r       r      r
     1) Если ( u ,νlim
                   )→( u ,ν )
                              r (u,ν ) = a и a = a1i + a2 j + a3 k , то при
                     0   0


                      (u,v) →(u0,v0) lim x(u,v) = a1 ; lim y(u,v) = a2 ; lim z(u,v)
                      = a3 .
                                                         r
         2) Если положить   ν = ν 0 = const , то функция r (u,ν ) станет
                                                          r
                      функцией одной скалярной переменной r (u,ν 0 ) .

     Определение 5: Если в некоторой точке u векторная функция
                                                   r
                     r                            dr (u,ν 0 )
                     r (u,ν 0 ) имеет производную             , то она на-
                                                      du
                    зывается частной производной векторной функ-
                          r
                    ции r (u,ν ) по переменной u в точке (u,v0) и обо-
                                   r
                                  dr r
                    значается        = ru .
                                  du                 r
                                                   dr r
     Аналогично определяется частная производная       = rν .
                                                   dν r
     Замечание: Из (1) следует, что векторная функция r (u,ν 0 ) имеет
                    координаты x(u1,v0), y(u1,v0), z(u1,v0). Поэтому частные
                                                     r      r
                    производные в точке (u,v) ∈G ru и rv существуют ⇔ ,
                    когда существуют в этой точке частные производные
                             dx(u ,ν )        dy (u,ν )        dz (u,ν )
                   xu =                ; yu =           ; zu =           ;
                               du                du               du

                            dx(u ,ν )          dy (u ,ν )        dz (u ,ν )
                     xν =             ; yν =              ; zν =            .
                              dν                 dν                 dν
Причем                           r r                        r
           r       r      r                  r      r
           ru = xu i + yu j + zu k ; rν = xν i + yν j + zν k                    (2)

    Определение 6: Если в равенстве (1) функции x(u,v), y(u,v), z(u,v)
    дифференцируемы в точке (u,v)∈ G, то вектор                   r
                                r                  r            r
                               dr (u,ν ) = dx(u,ν )i + dy(u,ν ) j + dz(u,ν )k . (3)


                                             29

Страницы