Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

16
§5. Кривизна и кручение линии. Формулы Френе.
5.1 Кривизна линии.
Пусть гладкая линия γ класса С
k
(k≥3) определена уравнением в есте-
ственной параметризации:
(
)
.srr
r
r
=
(1)
В п.с.к.
kjiO
r
rr
,,, уравнение (1) равносильно уравнениям
x= x(s); y=y(s); z=z(s). (1
/
)
Вектор
ds
rd
r
r
=
τ
является единичным вектором касательной к линии γ в
точке M (рис.1).
r
M
O
r
r
=
.
Определение 1:
Вектор
2
2
ds
rd
ds
d
N
r
r
r
==
τ
называется вектором кри-
визны линии γ в точке M, а его длина kN =
r
– кри-
визной линии γ в этой точке. На всей линии γ кри-
визна
k
является функцией параметра s.
cons
t
k
≠ .
Рис.1
Замечания
: 1)
r
ds
rd
r
r
⊥
, когда constr
=
r
(т.е.
0,
2
=⋅=
ds
rd
rkr
r
rr
).
2)
.1.., =⊥
ττ
r
r
r
ктN
Определение 2: Если в данной точке M имеем 0≠
k
, то число
k
1
=
ρ
называется радиусом кривизны линии в точ-
ке M.
Таким образом, если линия задана в естественной параметризации
(1), то её кривизна вычисляется по формуле:
j
r
x
O
k
r
i
r
r
r
M
v
r
N
r
z
γ
τ
r
β
r
y 
            §5. Кривизна и кручение линии. Формулы Френе.
                          5.1 Кривизна линии.

     Пусть гладкая линия γ класса Сk (k≥3) определена уравнением в есте-
ственной параметризации:
                             r r
                             r = r (s ).                             (1)
            r r r
В п.с.к. O, i , j , k уравнение (1) равносильно уравнениям
                          x= x(s); y=y(s); z=z(s).                   (1/)
             r
        r   dr
Вектор τ =       является единичным вектором касательной к линии γ в
            ds
точке M (рис.1).                  r r
                               OM = r .
                              r dτr d 2 rr
      Определение 1: Вектор N =        =     называется вектором кри-
                                   ds ds 2                  r
                       визны линии γ в точке M, а его длина N = k – кри-
                        визной линии γ в этой точке. На всей линии γ кри-
                        визна k является функцией параметра s.
                        k ≠ const .
                                             r
                               z            N
                                            r
                                   γ β                  r
                                                        v

                               r    r           M
                                    r               r
                               k                    τ
                             r O
                             i          r                   y
                                        j           Рис.1
                     r                                           r
                    dr x r             r             r2      r dr
      Замечания: 1)    ⊥ r ⇔ , когда r = const (т.е. r = k , r ⋅ = 0 ).
                    ds
                     r r                                        ds
                                r
                 2) N ⊥ τ , т.к.τ = 1.
      Определение 2: Если в данной точке M имеем k ≠ 0 , то число
                         1
                     ρ = называется радиусом кривизны линии в точ-
                         k
                       ке M.
       Таким образом, если линия задана в естественной параметризации
(1), то её кривизна вычисляется по формуле:



                                     16

Страницы