Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 13 стр.

торых определяется параметрическими уравнениями (3), причем для одной
дуги t∈I1; для другой - t∈I2, где I1, I2 – числовые промежутки, покрываю-
щие промежуток 0 ≤ t< 2π.
      Определение 2: Простая линия γ называется гладкой класса С k
                      (k≥1), если у каждой её внутренней точки M суще-
                      ствует такая ε –окрестность B(M, ε ), что пересе-
                      чение
                       γ I Β (M, ε )- гладкая элементарная линия класса С .
                                                                         k

Из примера 2 следует, что окружность – простая гладкая линия класса С ∞.
      Пусть уравнения (1) определяют линию γ в некоторой области U из-
менения переменной t. (U ⊂ R)
      Определение 3: Линия γ называется кусочно-гладкой, если область
                      U можно покрыть не более как счетным множест-
                      вом промежутков Ik, внутри каждого из которых
                      уравнения (1) определяют гладкую линию (на концах
                      этих промежутков требование гладкости может
                      нарушаться).
      Пример 3:
               Фигура, определяемая уравнениями
                    x = a(t − sin t ), y = a(1 − cos t ), z = 0 ,       (4)
           где a = const > 0 , называется обыкновенной циклоидой
(рис.2).

                  y


                 r
                 j

                       r
     − 2πa           0 i    2πa          4πa          x

                                                        Рис.2
      Циклоида является элементарной линией (т.к. гомеоморфна прямой),
но не является гладкой:
                         x′ = a(1 − cos t ), y′ = a sin t , z ′ = 0 .
      Следовательно, в точках t = 2akπ (k = 0;±1;±2;...) имеем x′ =0,
y′ =0, z′ =0, т.е. условие (2) не выполняется.
      Числовую прямую можно покрыть счетным множеством промежут-
ков




                                    13