Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 7 стр.

                                           r    r
                                          Δν dν
                                   lim       =    .
                                   Δt → 0
                                          Δt   dt
              r        r              r
     Здесь Δν = ν (t 0 + Δt ) − ν (t0 ) – приращение функции,
              Δ t=t-t0 – приращение аргумента в т. t0.
           r
     Пусть ν (t ) – векторная функция, заданная в промежутке I. Выберем в
                                                              r r r
векторном пространстве V ортонормированный базис i , j , k . Тогда
                   r            r          r         r
                  ν (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k .                       (1)

     Определение 5: Скалярные функции x(t), y(t), z(t) называются
                                       r               r r r
                  координатами функции ν (t ) в базисе i , j , k .
                                                                 r
     Замечание 2: Нетрудно доказать, что функция ν (t ) дифференци-
                руема ⇔ когда дифференцируема каждая из её коорди-
                нат, причем
                            r
                           dν dx r dy r dz r
                              = i+    j+ k.                                    (2)
                           dt dt   dt   dt
     Примеры.
                                                    r         r r   r r
        1) Найти производную функции ν (t ) = a t + b , где a и b - по-
                   стоянные  r векторы.
                               (          )
          r                         r r              r r r
     Если a (a1 , a2 , a3 ); b b1 , b2 , b3 в базисе i , j , k , то
                   x (t )          y (t )           z (t )
      r       ⎛ 678 ⎞ r ⎛ 678 ⎞ r ⎛ 678 ⎞ r
     ν (t ) = ⎜ a1t + b1 ⎟i + ⎜ a2t + b2 ⎟ j + ⎜ a3t + b3 ⎟k .
              ⎜            ⎟ ⎜            ⎟ ⎜              ⎟
              ⎝            ⎠ ⎝            ⎠ ⎝              ⎠
        r                                                      r
     dν         r         r   r     r                        dv r
           = a1i + a2 j + a3 k = a . Таким образом,              =a   - постоянный
      dt                                                      dt
вектор.
                           x (t )         y (t )
               r       ⎛ 678 ⎞ r ⎛ 678 ⎞ r ⎛ }        z (t )
                                                             ⎞r
                       ⎜          ⎟ ⎜            ⎟
            2) ν (t ) = a cos t i + a sin t j + bt ⎟ k ; a, b ∈ R .
                                                    ⎜
                       ⎜          ⎟ ⎜            ⎟ ⎜ ⎟
                       ⎝          ⎠ ⎝            ⎠ ⎝ ⎠
           r
          dν                r             r       r
             = (− a sin t )i + (a cos t ) j + bk .
          dt




                                              7