Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 67 стр.

телю геометрии знакома проблема: какой из методов обучения наиболее
эффективно влияет на развитие пространственного воображения студен-
тов? Авторы многих учебников вузовского курса геометрии указывали на
недостатки аналитического метода, отмечая, что при формальном анали-
тическом подходе ускользает собственно геометрическая сущность про-
блемы.
      В контексте традиционного аналитического метода изложения диф-
ференциальной геометрии «решение геометрического вопроса сводится к
исследованию уравнений, связывающих координаты», а геометрические
объекты и их внутренние связи оттесняются на задний план. Таким обра-
зом, наглядная образность, как инструмент геометрического познания, ут-
рачивает свой приоритет, уступая место аналитическому и символьному
методам научного познания.
      Так, например, при аналитическом изложении темы «Кривые на
гладкой поверхности, криволинейные координаты» решение геометриче-
ского вопроса сводится к исследованию следующих уравнений.
      Пусть гладкая поверхность F0 задана параметрическими уравнения-
ми:
                  x=x(u,v); y=y(u,v); z=z(u,v),                     (1)
(u,v) ∈ G. Если положить v=v0=const и менять только u, но так, чтобы
(u,v0)∈G, то получим векторную функцию одного скалярного аргумента u
                                  r r
                                  r = r (u , v0 ) .
                                   r     r
     Тогда точка M, такая, что OM = r , опишет некоторую гладкую ли-
нию, лежащую на поверхности F0. Эту линию называют линией u
                   r
                  dr r
(v=const). Вектор    = ru является вектором касательной к линии u в точ-
                  du
ке (u,v0).
       Аналогично через каждую точку M∈ F0 проходит гладкая линия
                                r
u=const или линия v. Вектор rv является вектором касательной к этой ли-
нии.
       Если известна точка (u,v0) ∈ G, то по формулам (1) определяются ко-
ординаты x, y, z и, следовательно, точка M (x, y, z) ∈F0.Следовательно, па-
раметры u,v всегда определяют точку на поверхности.
      Параметры u,v называют криволинейными координатами точки M на
поверхности F0.
       При изложении дифференциальной геометрии синтетическим мето-
дом все вычисления и рассуждения производятся в прямой связи с объек-
том, находящимся в поле зрения. Все выше проведенные аналитические
рассуждения наглядно подкрепляются чертежом, который навсегда остает-
ся в памяти.



                                    67