Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Подскребко Э.Н - 123 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

123
()
nm ≤ дифференцируемы в окрестности точки
(
)
00
2
0
10
,,,
n
xxxM K ;
2)
якобиан этих функций по каким-либо переменным не равен
нулю в точке
0
М .
Тогда эти функции независимы в окрестности точки
0
М .
Пример 6.7.2. Исследовать на независимость систему функций
3
1
1
+=
x
ey ,
42
2
12
−+=
x
exy ,
4213
3
3 xexxy
x
+−−= .
Данные функции определены и дифференцируемы всюду на
4
R .
Матрица Якоби системы функций имеет вид
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
=
113
0021
000
3
2
1
x
x
x
e
e
e
A
.
Рассмотрим определитель 3-го порядка этой матрицы
02
13
021
00
321
3
2
1
≠−=
−−
++ xxx
x
x
x
e
e
e
e
ни в одной точке на
4
R .
Следовательно, функции
321
,, yyy независимы всюду на
4
R .
Теорема 6.7.2. Пусть выполняются четыре условия:
1) функции
m
yyy ,,,
21
K дифференцируемы в некоторой окре-
стности точки
(
)
00
2
0
10
,,,
n
xxxM K ;
2) частные производные
∂
∂
α
f
x
i
(
)
nim ,1,,1 ==α непрерывны в
точке
0
М ;
3)
матрица Якоби
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
α
i
x
f
имеет минор порядка r, не равный 0 в
точке
0
М ;
4) все миноры порядка 1
+
r
равны нулю.
Тогда функции, входящие в минор порядка r, независимы в окре-
стности точки
0
М , а все остальные зависят от этих r функций.

Страницы