Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Подскребко Э.Н - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

7
где
()
3,1,1
0
−M , M(6, 11, 3).
7. Пусть X – любое множество. Можно ли его метризовать, вве-
дя метрику по формуле
()
⎩
⎨
⎧
≠
=
=ρ
?если,1
,если,0
,
yx
yx
yx
Альтернативы для выбора ответа:
1) да; 2) нет; 3) не всегда.
1.2. Окрестность точки в метрическом пространстве
Определение 1.2.1.
ε-окрестностью точки
0
M в метрическом
пространстве Х называется множество всех точек X
M
∈
, расстоя-
ние которых до точки
0
M меньше некоторого положительного ε.
Принято следующее обозначение ε-окрестности точки
0
M :
(
)
(
)
{
}
ε<ρ=ε MMMMU , :,
00
.
Пример 1.2.1.
Построить ε-окрестность функции
(
)
ttx cos
0
= на
отрезке [0,
π
] в пространстве
[]
π,0
C , если ε = 1.
В соответствии с определением ε-окрестности точки и с
учётом расстояния в пространстве
[]
ba
C
,
имеем:
()()()
[]
() ()
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
ε<−=ε
π∈
txtxtxtxU
t
0
,0
0
max:,,
или
()()
[]
()
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
<−=
π∈
1cosmax:1,cos
,0
txttxtU
t
.
Ясно, что указанная окрест-
ность точки
(
)
ttx cos
0
= на отрезке
[0, π] представляет множество всех
непрерывных на этом отрезке функ-
ций х(t), не выходящих из полосы
(соst − 1, соst + 1), (рис. 1).
x
2
1 x = cos t + 1
O
π /2 π t
x
0
= cos t
x = cos t 1
Рис. 1

Страницы