Механика, молекулярная физика и термодинамика. Полицинский Е.В. - 146 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ (Механика, МКТ, термодинамика) Полицинский Е.В.
146
Следовательно, распределение молекул по высоте является вместе
с тем и распределением их по значениям потенциальной энергии. Под-
ставляя (281) в (279), получим распределение Больцмана в виде
0
p
k T
n n e
ε
−
⋅
= ⋅
(282),
где n
0
– число молекул в единице объема, в том месте, где
ε
p
= 0,
n – число молекул, где потенциальная энергия молекулы равна
ε
p
.
Выражение (282) показывает, что молекулы располагаются с
большей плотностью там, где меньше их потенциальная энергия и,
наоборот, с меньшей плотностью в местах, где их потенциальная
энергия больше.
Если взять отношения n
1
и n
2
в точках, где потенциальная энергия
молекулы имеет значение
1
р
и
2
р
ε
, то
1 2
1
2
p p
k T
n
e
n
ε ε
−
−
⋅
=
(283).
Больцман показал, что распределение (282) и вытекающее из него
выражение (283) справедливо не только в случае потенциального поля
сил земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для сово-
купности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаоти-
ческого теплового движения.
Таким образом, закон Максвелла дает распределение частиц по
значениям кинетической энергии, закон Больцмана дает распределение
частиц по значениям потенциальной энергии. Для обоих распределений
характерно наличие экспоненциального множителя, в показателе кото-
рого стоит отношение кинетической или соответственно потенциальной
энергии одной молекулы к величине, определяющей среднюю энергию
теплового движения молекул. Эти два распределения можно объеди-
нить в один закон Максвелла-Больцмана. Согласно распределению
Максвелла, количество молекул, содержащихся в единице объема, ско-
рость которых лежит между
υ
и
υ
+d
υ
равно
dn = n
⋅
f(
υ
)d
υ
(284),
где
2
0
3/ 2
2
0
2
( ) 4
2
m
k T
m
f e
k T
υ
υ π υ
π
⋅
−
⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
(285).
Подставляя (282) и (285) в (284), получим закон Максвелла-
Больцмана
2
0
23/ 2
2
0
, 0
4
2
p
p
m
k T
m
dn n e d
k T
υ
ε
ε υ
π υ υ
π
⋅
+
−
⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
(286),

Страницы