ВУЗ:
Составители:
Получение формул для вычисления погрешностей косвенных
измерений в случае зависимости вида
c
ba
Y
⋅
=
(произведение, деление).
Исходные данные:
c,b,a,c,b,a
∆∆∆
.
Вывод формул для вычисления погрешностей косвенных измерений в
рассматриваемом случае можно выполнить следующим образом.
1. Прологарифмируем левую и правую части заданной зависимости:
clnblnaln
c
ba
lnYln
−+=
⋅
=
.
2. Найдем дифференциал правой и левой частей:
clndblndalnd
c
ba
lndYlnd
−+=
⋅
=
.
3. Учитывая, что дифференциал от логарифма переменной величины
находится по формуле:
( )
x
dx
dx
dx
xlnd
xlnd
=⋅=
, получаем:
c
dc
b
db
a
da
Y
dY
−+=
.
4. Произведем широко используемую в теории погрешностей замену
дифференциалов малыми абсолютными погрешностями (при условии, что
абсолютные погрешности достаточно малы):
cdc,bdb,ada,YdY
∆≈∆≈∆≈∆≈
.
Тогда
c
c
b
b
a
a
Y
Y
∆
−
∆
+
∆
=
∆
.
5. Учитывая, что знаки погрешностей
cba
∆∆∆
,,
заранее неизвестны, для
получения гарантированной (предельной) оценки относительной
погрешности косвенного измерения в последней формуле все знаки "-"
заменяем на знаки "+":
c
c
b
b
a
a
Y
Y
пр
∆
+
∆
+
∆
=
∆
или
cbaY
пр
δ+δ+δ=δ
.
6. Предельную оценку абсолютной погрешности косвенного измерения
находим по формуле:
YYY
прпр
⋅δ=∆
.
Величина предельной погрешности во многих случаях бывает
завышенной, поэтому часто применяют среднеквадратические оценки
погрешности. Для получения среднеквадратической оценки погрешности в
формуле для предельной оценки погрешности сумму заменяют корнем
квадратным из суммы квадратов.
7. Найдем среднеквадратические оценки относительной и абсолютной
погрешностей косвенного измерения:
( ) ( ) ( )
222
222
cк
cba
c
c
b
b
a
a
Y
δ+δ+δ=
∆
+
∆
+
∆
=δ
.
( ) ( ) ( )
YcbaY
c
c
b
b
a
a
Y
222
222
cк
⋅δ+δ+δ=⋅
∆
+
∆
+
∆
=∆
23
