Метод спектральных элементов на неструктурированной сетке в вычислительной механике. Попонин В.С. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

ГЛАВА 2. Метод спектральных элементов для
решения линейных краевых задач
математической физики
2.1 Уравнение Пуассона
Рассмотрим уравнение Пуассона:
()
()
2
.
Ω
u= f x ,x Ω
u= x
ϕ
∂
−
∇∈
(2.1)
(
)
12
m
m
x= x ,x , ,x
∈
ℜL
m
Ω⊂ℜи
Пусть
. Рассмотрим проблему
построения решения (2.1) в слабой постановке:
2
ΩΩ
uvdV = fvdV−∇
∫∫
. (2.2)
К левой части уравнения (2.2) применим формулу Грина:
2
ˆ
ΩΩΩΩ
u
uvdV = u vdV v dS = fvdV
n
∂
∂
−∇ −∇∇ − ⋅
∂
∫∫∫∫
. (2.3)
Здесь
(
)
12
ˆ
m
n= n ,n , ,nL нормаль к поверхности Ω
∂
. В результате
наша задача (2.1) переформулирована для пространства функций
Соболева:
()
12
0
()| 0, ( )
i
u
u,v H = u x u L
x
∂Ω
∂
∈Ω = ∈Ω
∂
⎧
⎫
⎨
⎬
⎩⎭
. (2.4)
Формулу (2.2) с учётом (2.3) можно преобразовать следующим
образом:
ˆ
ΩΩΩ
u
uvdV= fvdV+ v dS
n
∂
∂
−∇∇ ⋅
∂
∫∫∫
. (2.5)
m
Ω
⊂ℜРассмотрим различные типы областей .
Наипростейший случай - это кубическая область
()
1,1
m
m
=Ω− ⊂ℜ. В этом случае интерполяционная формула
может быть рассмотрена в виде прямого произведения одномерных
базисных функций:
1
1
,...,
1,..., 1
1
()= ( )
mi
m
m
N
p
pp
pp
i
u uC
==
=
∑
∏
x
i
x. (2.6)
На элементе рассмотрим тестовые функции вида:

Страницы