Метод спектральных элементов на неструктурированной сетке в вычислительной механике. Попонин В.С. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

()
2
2
x+y
u= e∇ , (2.19)
(
)
()
x+y
ux,y=e
c аналитическим решением
в области,
представляющей прямоугольник:
[
]
[
]
1,1 1,1=Ω− ×− . Для оценки
влияния на точность решения числа элементов и степени базисных
функций мы провели расчеты для степеней базисных функций от 2
до 13 и различного числа элементов. На рис.1. представлена
зависимость порядка относительной погрешности аппроксимации
при фиксированной степени полинома (N = 3) от числа конечных
элементов и относительная погрешность аппроксимации,
полученная при фиксированном числе конечных элементов (число
элементов равно 18), в зависимости от степени полинома. Для
оценки влияния точности на размер системы линейных уравнений
мы построили график зависимости относительной погрешности
аппроксимации от степени полиномов на элементах и числа всех
расчетных узлов на разбиении расчетной области (рис.2).
Как видно из рис.1 и рис.2, скорость сходимости по степени
полинома является экспоненциальной, и уровень машинной
точности достигается при малой степени полинома, в то время как
при увеличении числа конечных элементов погрешность также
уменьшается, но скорость сходимости ниже, чем соответствующая
скорость сходимости, обусловленная увеличением степени
полинома. Так, относительная погрешность порядка
13
110
−
⋅
достигается при степени полинома N = 9, а порядка
14
410
−
⋅ - при
степени полинома N = 13 на сетке, состоящей всего из 18 конечных
элементов. С другой стороны, относительная погрешность порядка
9
10
−
достигается при расчёте на сетке, состоящей из 3700
конечных элементов. Полученные результаты позволяют сделать
вывод о том, что для получения заданного порядка точности
наибольший эффект оказывает повышение степени базисных
функций спектральных элементов.
На рис.3а) представлено численное решение задачи (37), а на
рис.3б) представлена относительная погрешность аппроксимации
задачи (2.19). Следует отметить, что, как при росте степени
полинома, так и при росте числа элементов, матрица системы
линейных уравнений становится плохо обусловленной, поэтому
надлежащий выбор метода решения системы линейных уравнений
позволяет ускорить итерационный процесс сходимости. В данной
работе мы использовали метод GMRES с предобуславливателем в
виде неполного ILU(0) разложения исходной матрицы системы [
9].

Страницы