ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1 (М., 1984, 8 баллов). Диск массой
m
и радиусом
r
, двигаясь в вертикальной плоскости, прыгает по
горизонтальному полу. Известно, что в момент отскока: скорость его нижней точки меняется на проти-
воположную, кинетическая энергия не меняется. Найти последовательность точек удара о пол. Центр
масс совпадает с геометрическим центром диска.
Решение.
В плоскости движения введём систему координат
xy
O
. Через
ϕ
,
,
y
x
обозначим координаты
центра диска и угол поворота диска. Перед
i
-м ударом скорость центра диска
(
)
111
,
−−−
iii
yxV
&&
, угловая скорость
1−
ϕ
i
&
. Соответствующие величины после удара
iii
yx
ϕ
&
&&
,,
. Скорость нижней точки диска
(
)
yrxU
&
&
&
,ϕ+
; кинетиче-
ская энергия
(
)
222
2
1
2
1
ϕ++=
&
&&
JyxmT
.
Первое и второе условие задачи записывается в виде:
iiii
rxrx
ϕ−−=ϕ+
−−
&
&
&
&
11
, (1)
ii
yy
&&
−=
−1
, (2)
(
)
(
)
2222
1
2
1
2
1
iiiiii
JyxmJyxm
ϕ++=ϕ++
−−−
&
&&
&
&&
. (3)
Введём начальные условия. Пусть перед первым ударом
ax
=
0
&
,
by
−=
0
&
,
Ω=ϕ
0
&
,
(
)
0>
b
.
Уравнение (2) полностью определяет движение центра масс диска по вертикали и интервалы вре-
мени между ударами: они одинаковы и равны
g
b
2
=τ
. Преобразуем уравнение (3):
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
11
22
111 −−−−−
ϕ+ϕϕ−ϕ=−++−
iiiiiiiiii
Jyymxxxxm
&&&&
&&&&&&
и упростим его, учитывая уравнения (1) и (2):
(
)
(
)
11 −−
ϕ−ϕ=−
iiii
Jxxrm
&&
&&
. (4)
Уравнение (4) может быть получено иначе. В момент удара на диск действует ударный импульс.
Его вертикальная составляющая влияет только на
y
&
. Действие горизонтальной составляющей опреде-
ляется уравнениями:
(
)
ixii
Sxxm
=−
−1
&&
,
(
)
ixii
SrJ
=ϕ−ϕ
−1
&&
. Исключив импульс, придём к уравнению (4). Из
этого следует, что второе условие задачи – условие постоянства кинетической энергии – лишнее; задача
разрешима без него. Решая совместно уравнения (1) и (4), получим
(
)
2
rmJJ
P
+=
:
(
)
11
2
2
−−
ϕ−−=
iiiP
JrxJrmxJ
&
&&
;
(
)
11
2
2
−−
−ϕ−−=ϕ
iiiP
xrmJrmJ
&
&&
. (5)
Двукратным применением формул (5) находим:
ii
xx
&&
=
+2
,
ii
ϕ=ϕ
+
&&
2
. Таким образом, установлено, что
ϕ
&
&&
, , ,
yyx
– периодические функции времени с периодом
τ
2
. Определим приращения координаты
x
при
двух последовательных ударах диска о плоскость:
(
)
2
2
1121
22
rmJ
JraJrm
g
b
xxx
+
Ω−−
⋅=τ=−=δ
&
;
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
