Механика. Решение творческих задач динамики. Попов А.И. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Участок нити
KB
между
K
и точкой
B
верхнего касания нити с блоком в данный момент времени дви-
жется как твёрдое тело, совершающее мгновенное плоское движение (мгновенное, так как в следующий
момент времени
KB
искривится).
2
KPv
K
⊥
, где
2
P
– МЦС для диска
2
. Очевидно,
B
v
параллелен
KB
. Стро-
им
KB
P
– МЦС для
KB
.
Очевидно,
B
vv
=
1
. Из
2
BKP
∆
угол
)2/(90
2
α−=
o
)
BKP
. Поэтому угол между
K
v
и
KВ
равен
2/
α
. По тео-
реме о проекциях скоростей для
KВ
)2/cos(α=
KB
vv
. Учтём, что
)2/cos(2
2
2
α
==ω
R
v
R
v
K
. Связывая все эти
соотношения, получаем
)2/(cos2
2
1
2
α
=
v
v
. (1)
Найдём также
KB
ω
. Из геометрии:
)2/(ctg α=
KBBP
KB
,
)2/(ctg
2
α==
RBPKB
.
)2/(tg
2
1
α==ω
R
v
BP
v
KB
B
KB
. (2)
Найдём зависимости
)(
11
α=
ss
,
)(
22
α=
ss
. В начале движения было
RBP
=
2
. Поэтому
)1)2/(ctg(
2
−α=
Rs
. (3)
Из формулы (1):
)2/(cos2
2
1
2
α
=
ds
ds
. (4)
Взяв дифференциал от (3), получим
α
α
−=
d
R
ds
)2/(sin2
2
2
. Подставляем в (4) и интегрируем:
∫ ∫
α
π
=α
α
−
2/ 0
1
2
1
)2/(sin
1
1
S
dsdR
. (5)
(
)
)2/(2)2/(2ctg
1
π−−α+α=
Rs
. (6)
Все кинематические соотношения построены. 2-й способ приведён в конце решения.
Для определения
11
,
av
применим теорему об изменении кинетической энергии системы. Учитывая,
что диск катится без проскальзывания, после стандартных преобразований получим:
12
2
2
2
1
4
3
2
mgsFs
mvmv
−=+
. (7)
С учётом (1), перепишем (7) в виде:
)2(
)2/(cos16
3
2
1
12
2
1
4
ssgv
−=
α
+
, (8)
Дифференцируем (8) по времени с учётом, что в левой части оба множителя переменны:
)2(02
)2/(cos16
3
2
1
)2/(cos8
)2/sin(3
1211
4
2
1
5
vvgavv
−=−
α
++α
α
α
&
. (9)

Страницы