Практикум по алгебре. Часть 1. Многочлены и их корни. Попов В.В - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

R x + y + z sin(xy + z)
P + ·
P
(x + y)+z = x + (y + z) x, y, z ∈ P
0 ∈ P x + 0 = x = 0 + x
x ∈ P
x ∈ P
x y ∈ P x + y = 0 y
x −x
x + y = y + x x, y ∈ P
x(y + z) = xy + xz (x + y)z = xz + yz x, y, z ∈ P
(xy)z = x( yz) x, y, z ∈ P
P
xy = yx x, y ∈ P
e ∈ P e · x = x · e = x
x ∈ P e
1
1
P
x ∈ P x 6= 0 y ∈ P
xy = 1
y x
îïåðàöèé íà R: x + y + z , sin(xy + z). Â äàëüíåéøåì áóäóò ðàñ-
ñìàòðèâàòüñÿ òîëüêî áèíàðíûå îïåðàöèè.
    Ïóñòü íà ìíîæåñòâå P çàäàíî äâå îïåðàöèè: "+"è "·" (óñëîâ-
íî íàçûâàåìûå ñëîæåíèåì è óìíîæåíèåì). Òîãäà P íàçûâàþò
êîëüöîì, åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå àêñèîìû:
(1) (x + y) + z = x + (y + z) äëÿ âñåõ x, y, z ∈ P (àññîöèàòèâíîñòü
ñëîæåíèÿ);
(2) íàéäåòñÿ òàêîé ýëåìåíò 0 ∈ P, ÷òî x + 0 = x = 0 + x äëÿ
âñåõ x ∈ P (ñóùåñòâîâàíèå íóëÿ);
(3) äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ P íàéäåòñÿ òàêîé (çàâèñÿùèé îò
x) ýëåìåíò y ∈ P, ÷òî x + y = 0 (y íàçûâàþò ýëåìåíòîì, ïðîòè-
âîïîëîæíûì ê ýëåìåíòó x è îáîçíà÷àþò ÷åðåç −x);
(4) x + y = y + x äëÿ ëþáûõ x, y ∈ P (êîììóòàòèâíîñòü ñëîæå-
íèÿ);
(5) x(y + z) = xy + xz è (x + y)z = xz + yz äëÿ ëþáûõ x, y, z ∈ P
(çàêîíû äèñòðèáóòèâíîñòè).
    Â êîëüöå ìîãóò âûïîëíÿòüñÿ íåêîòîðûå äîïîëíèòåëüíûå àê-
ñèîìû. Êîëüöî íàçûâàþò àññîöèàòèâíûì, åñëè óìíîæåíèå â
íåì àññîöèàòèâíî, ò.å. âûïîëíåíà àêñèîìà
(6) (xy)z = x(yz) äëÿ ëþáûõ x, y, z ∈ P.
Êîëüöî P êîììóòàòèâíî, åñëè
(7) xy = yx äëÿ âñåõ x, y ∈ P;
Êîëüöî ñ åäèíèöåé  ýòî òàêîå êîëüöî, â êîòîðîì âûïîëíÿåòñÿ
àêñèîìà
(8) íàéäåòñÿ òàêîé ýëåìåíò e ∈ P, ÷òî e · x = x · e = x äëÿ âñåõ
x ∈ P. Ýëåìåíò e íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íûì è îáû÷íî îáîçíà÷àåòñÿ
ñèìâîëîì 1 (õîòÿ îí ìîæåò è íå ðàâíÿòüñÿ íàòóðàëüíîìó ÷èñëó
1).
    Ìíîæåñòâî P ñ îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íàçûâà-
åòñÿ ïîëåì, åñëè îíî óäîâëåòâîðÿåò àêñèîìàì (1)(8), à òàêæå
àêñèîìå
(9) äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ P, x 6= 0, ñóùåñòâóåò ýëåìåíò y ∈ P
ñ óñëîâèåì xy = 1.
Ýëåìåíò y èç àêñèîìû (9) íàçûâàþò îáðàòíûì äëÿ ýëåìåíòà x

                                30

Страницы