Практикум по алгебре. Часть 1. Многочлены и их корни. Попов В.В - 29 стр.

Ïðèëîæåíèå 1. Êîëüöà è ïîëÿ
Ïóñòü P  íåêîòîðîå ìíîæåñòâî. Ãîâîðÿò, ÷òî íà P îïðåäå-
ëåíà àëãåáðàè÷åñêàÿ îïåðàöèÿ, åñëè ëþáûì äâóì ýëåìåíòàì
x, y ∈ P ñîïîñòàâëåí (ïî êàêîìó-ëèáî ïðàâèëó) ðîâíî îäèí ýëå-
ìåíò z ∈ P, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ðåçóëüòàòîì ïðèìåíåíèÿ ýòîé
îïåðàöèè ê (óïîðÿäî÷åííîé) ïàðå ýëåìåíòîâ x, y . Îáû÷íî îïå-
ðàöèè îáîçíà÷àþòñÿ êàêèì-ëèáî ñèìâîëîì ("+", "·", "?", "∗" è
ò.ï.). Åñëè "∗"  ñèìâîë îïåðàöèè, òî ÷åðåç x ∗ y îáîçíà÷àåòñÿ
ðåçóëüòàò åå ïðèìåíåíèÿ ê ïàðå ýëåìåíòîâ x, y .
    Îïåðàöèÿ ∗ íàçûâàåòñÿ àññîöèàòèâíîé, åñëè (x ∗ y) ∗ z =
x ∗ (y ∗ z) äëÿ ëþáîé òðîéêè ýëåìåíòîâ x, y, z ∈ P; îïåðàöèÿ
êîììóòàòèâíà, åñëè x ∗ y = y ∗ x äëÿ ëþáûõ x, y ∈ P.
   Ïðèìåðû.
1) Îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë êîììóòàòèâíà è
àññîöèàòèâíà.
2) Îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë êîììóòàòèâíà
è àññîöèàòèâíà.
3) Îïåðàöèÿ âû÷èòàíèÿ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë íå ÿâëÿåòñÿ íè
êîììóòàòèâíîé, íè àññîöèàòèâíîé, ïîñêîëüêó ðàâåíñòâà

          x − y = y − x è (x − y) − z = x − (y − z)

âûïîëíåíû íå ïðè âñåõ x, y, z ∈ R.
4)  ïðèìåðàõ 1) è 2) ìíîæåñòâî R äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ìîæ-
íî çàìåíèòü íà Z, íà Q, íà R, à òàêæå íà C.
5) Äåëåíèå íà ìíîæåñòâå Q ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë íå ÿâëÿåòñÿ
îïåðàöèåé, ïîñêîëüêó íå îïðåäåëåí, íàïðèìåð, ðåçóëüòàò äåëå-
íèÿ ÷èñëà 5 íà 0.

   Çàìå÷àíèå. Ðàññìîòðåííûå âûøå îïåðàöèè íàçûâàþòñÿ áè-
íàðíûìè (òàê êàê çàâèñÿò îò äâóõ îïåðàíäîâ).  àëãåáðå èçó÷à-
þòñÿ òàêæå óíàðíûå îïåðàöèè (çàâèñÿùèå îò îäíîãî îïåðàíäà),
òåðíàðíûå îïåðàöèè (çàâèñÿùèå îò òðåõ îïåðàíäîâ) è ò.ä. Ïðè-
ìåðû óíàðíûõ îïåðàöèé íà R: x2 , sin x. Ïðèìåðû òåðíàðíûõ

                              29