Практикум по алгебре. Часть 1. Многочлены и их корни. Попов В.В - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

q = 1
x
0
f(x) =
a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ . . . + a
n−1
x + a
n
x
0
a
n
x
0
=
p
q
f(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ . . . + a
n−1
x + a
n
p
q
k f(k) p − kq
f(x)
(x −k) f(x) = b
0
(x −k)
n
+ b
1
(x −k)
n−1
+ . . . +
b
n−1
(x −k) + b
n
f(k) = b
n
f
µ
p
q
= 0
f(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ . . . + a
n−1
x + a
n
p
a
0
a
n
p
2
f(x)
Z Q
x
n
− 2 Q Z
n = 2, 3, 4 . . . p = 2
a) x
3
− 6x
2
+ 15x − 14;
b) 24x
5
+ 10x
4
− x
3
− 19x
2
− 5x + 6;
Ïðè q = 1 ïðåäëîæåíèå 15 äàåò

Ñëåäñòâèå. Ïóñòü x0  öåëûé êîðåíü ìíîãî÷ëåíà f (x) =
a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè.
Òîãäà x0  äåëèòåëü ñâîáîäíîãî ÷ëåíà an .
                                     p
Ïðåäëîæåíèå 16. Ïóñòü x0 =  êîðåíü ìíîãî÷ëåíà
                                     q
           f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an
                                        p
ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè è äðîáü íåñîêðàòèìà. Òîãäà äëÿ
                                        q
ëþáîãî öåëîãî ÷èñëà k ÷èñëî f (k) äåëèòñÿ íà p − kq .
   Ïðè âûâîäå ïðåäëîæåíèÿ 16 ñëåäóåò ðàçëîæèòü f (x) ïî ñòå-
ïåíÿì äâó÷ëåíà (x − k): f (x) = b0 (x − k)n + b1 (x − k)n−1
                                                          µ +¶. . . +
                                                           p
bn−1 (x − k) + bn è èñïîëüçîâàòü ðàâåíñòâà f (k) = bn , f      = 0.
                                                           q
Êðèòåðèé Ýíçåíøòåéíà. Ïóñòü
             f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an
 ìíîãî÷ëåí ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè, äëÿ êîòîðîãî íàéäåòñÿ
òàêîå ïðîñòîå p, íà êîòîðîå äåëÿòñÿ âñå êîýôôèöèåíòû ìíîãî-
÷ëåíà êðîìå ñòàðøåãî êîýôôèöèåíòà a0 . Ïóñòü òàêæå ñâîáîä-
íûé ÷ëåí an íå äåëèòñÿ íà p2 . Òîãäà ìíîãî÷ëåí f (x) íåïðèâîäèì
íàä êîëüöîì Z öåëûõ ÷èñåë, à òàêæå íàä ïîëåì Q ðàöèîíàëü-
íûõ ÷èñåë.
   Ïðèìåð. Ìíîãî÷ëåí xn − 2 íåïðèâîäèì íàä Q è íàä Z ïðè
n = 2, 3, 4 . . .. Ýòî âûòåêàåò èç êðèòåðèÿ Ýíçåíøòåéíà ïðè p = 2.

   Çàäà÷è.

   11.1. Íàéòè ðàöèîíàëüíûå êîðíè ñëåäóþùèõ ìíîãî÷ëåíîâ:
               a) x3 − 6x2 + 15x − 14;
               b) 24x5 + 10x4 − x3 − 19x2 − 5x + 6;

                                  27

Страницы