Практикум по алгебре. Часть 1. Многочлены и их корни. Попов В.В - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

f(x)
z
f(z) = f(z) z f(x) z f(x)
f(x)
z = a + bi a, b ∈ R
b 6= 0 g(x)
f(x) = [(a − x)
2
+ b
2
] · g(x)
f(x) n > 1
R
1
f(x)
R ⇐⇒
f(x) = a
0
x + a
1
a
0
, a
1
∈ R a
0
6= 0
f(x) = a
0
x
2
+ a
1
x + a
2
a
0
, a
1
, a
2
∈ R,
a
0
D = a
2
1
− 4a
0
a
2
x
0
=
p
q
f(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ . . . + a
n−1
x + a
n
p
q
q a
0
p
a
n
q > 1
10      Ìíîãî÷ëåíû ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôè-
       öèåíòàìè
Ëåììà 2. Ïóñòü f (x)  ìíîãî÷ëåí ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýô-
ôèöèåíòàìè è z  êîìïëåêñíîå ÷èñëî. Òîãäà:
a) f (z) = f (z); b) åñëè z  êîðåíü f (x), òî è z  êîðåíü f (x).
Ëåììà 3. Ïóñòü f (x) ìíîãî÷ëåí ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôè-
öèåíòàìè è z = a + bi  åãî êîìïëåêñíûé êîðåíü, ãäå a, b ∈ R
è b 6= 0. Òîãäà íàéäåòñÿ òàêîé ìíîãî÷ëåí g(x) ñ äåéñòâèòåëü-
íûìè êîýôôèöèåíòàìè, ÷òî f (x) = [(a − x)2 + b2 ] · g(x).
     Èç ëåììû 3 è òåîðåìû Áåçó ëåãêî âûâîäèòñÿ
Òåîðåìà 8. Âñÿêèé ìíîãî÷ëåí f (x) ñòåïåíè n > 1 íàä ïîëåì
R äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ðàçëàãàåòñÿ íà ìíîæèòåëè ïåðâîé
è âòîðîé ñòåïåíè. Ïðè ýòîì ÷èñëî ñîìíîæèòåëåé ìîæåò
áûòü ðàâíî 1.
Ñëåäñòâèå. Ìíîãî÷ëåí f (x) ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè íàä ïî-
ëåì R íåïðèâîäèì ⇐⇒ âûïîëíåíî îäíî èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé:
a) f (x) = a0 x + a1 ïðè íåêîòîðûõ a0 , a1 ∈ R, a0 6= 0;
b) f (x) = a0 x2 + a1 x + a2 ïðè íåêîòîðûõ a0 , a1 , a2 ∈ R, ïðè÷åì
ñòàðøèé êîýôôèöèåíò a0 îòëè÷åí îò íóëÿ, à äèñêðèìèíàíò
D = a21 − 4a0 a2 îòðèöàòåëåí.

11      Ðàöèîíàëüíûå êîðíè ìíîãî÷ëåíà
                                       p
Ïðåäëîæåíèå 15. Ïóñòü x0 =                êîðåíü ìíîãî÷ëåíà
                                       q
             f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an
                                        p
ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ïóñòü äðîáü      íåñîêðàòèìà. Òî-
                                        q
ãäà q  äåëèòåëü ñòàðøåãî êîýôôèöèåíòà a0 , à p  äåëèòåëü
ñâîáîäíîãî ÷ëåíà an . Ïðè ýòîì ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî q > 1.

                                  26

Страницы