Практикум по алгебре. Часть 1. Многочлены и их корни. Попов В.В - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

f(x)
f(x)
f(x)
C ⇐⇒ 1
f(x) = a
0
x + a
1
a
0
, a
1
∈ C a
0
6= 0
f(x) a
0
f(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ a
2
x
n−2
+ . . . + a
n−1
x + a
n
,
α
1
, α
2
, . . . , α
n
f(x)
f(x) = a
0
(x − α
1
)(x − α
2
) . . . (x − α
n
).
a
1
= −(α
1
+ α
2
+ . . . + α
n
)/a
0
;
a
2
= α
1
α
2
+ α
1
α
3
+ . . . + α
1
α
n
+ α
2
α
3
+ . . . + a
n−1
α
n
)/a
0
;
a
3
= −(α
1
α
2
α
3
+ α
1
α
2
α
4
+ . . . + α
n−2
α
n−1
α
n
)/a
0
;
. . . . . .
a
n
= (−1)
n
α
1
α
2
. . . α
n
/a
0
.
−3
a
0
f(x)
α
1
= −(2 − 3 − 3) = 4;
α
2
= 2 · (−3) + 2 · (−3) + (−3) · (−3) = −3;
α
3
= −2 · (−3) · (−3) = −18.
Òåîðåìà 7. Ïóñòü f (x)  ìíîãî÷ëåí ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè
ñ êîìïëåêñíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Òîãäà ÷èñëî åãî êîìïëåêñ-
íûõ êîðíåé (ñ ó÷åòîì èõ êðàòíîñòè) ðàâíî ñòåïåíè ìíîãî-
÷ëåíà f (x).
Ñëåäñòâèå. Ìíîãî÷ëåí f (x) ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè íàä ïî-
ëåì C íåïðèâîäèì ⇐⇒ ñòåïåíü ýòîãî ìíîãî÷ëåíà ðàâíà 1,
ò.å. f (x) = a0 x + a1 ïðè íåêîòîðûõ a0 , a1 ∈ C, a0 6= 0.

9 Ôîðìóëû Âèåòà
Ïóñòü äàí ìíîãî÷ëåí f (x) ñî ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì a0 :
        f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + . . . + an−1 x + an ,
è ïóñòü α1 , α2 , . . . , αn åãî êîðíè. Òîãäà f (x) ïðåäñòàâèì â âèäå
              f (x) = a0 (x − α1 )(x − α2 ) . . . (x − αn ).
Ïåðåìíîæàÿ ñêîáêè, ñòîÿùèå ñïðàâà, ïðèâîäÿ ïîäîáíûå ÷ëåíû
è ñðàâíèâàÿ ñ êîýôôèöèåíòàìè ìíîãî÷ëåíà, ïîëó÷èì ôîðìóëû,
âûðàæàþùèå êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà ÷åðåç åãî êîðíè. Ýòè
ôîðìóëû íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè Âèåòà:
   a1 =   −(α1 + α2 + . . . + αn )/a0 ;
   a2 =   α1 α2 + α1 α3 + . . . + α1 αn + α2 α3 + . . . + an−1 αn )/a0 ;
   a3 =   −(α1 α2 α3 + α1 α2 α4 + . . . + αn−2 αn−1 αn )/a0 ;
   ...    ...
   an =   (−1)n α1 α2 . . . αn /a0 .
   Ïðèìåð. Íàéòè ìíîãî÷ëåí òðåòüåé ñòåïåíè, èìåþùèé ïðî-
ñòûì êîðíåì ÷èñëî 2 è äâóêðàòíûì êîðíåì ÷èñëî −3.
    Ñ÷èòàÿ, ÷òî ñòàðøèé êîýôôèöèåíò a0 ìíîãî÷ëåíà f (x) ðàâåí
1, ïî ôîðìóëàì Âèåòà ïîëó÷èì
          α1 =           −(2 − 3 − 3)            = 4;
          α2 = 2 · (−3) + 2 · (−3) + (−3) · (−3) = −3;
          α3 =          −2 · (−3) · (−3)         = −18.

                                   24

Страницы