Практикум по алгебре. Часть 1. Многочлены и их корни. Попов В.В - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

a) x
3
− 6x
2
+ 11x − 6; b) x
4
+ 4;
c) x
4
+ 4x
3
+ 4x
2
+ 1; d) x
4
− 10x
2
+ 1.
a) x
4
+ 4; b) x
6
+ 27; c) x
4
+ 4x
3
+ 4x
2
+ 1;
d) x
4
− ax
2
+ 1; e) x
8
− 1; f) x
12
+ 1.
f(x)
1 2 3 1 + i
−1 + 2i
i −1 − i
f(x) n > 1 C
f(x) = a
0
(x−α
1
)(x−α
2
) . . . (x−α
n
) a
0
α
1
α
2
. . . α
n
f(x)
           a) x3 − 6x2 + 11x − 6; b) x4 + 4;
           c) x4 + 4x3 + 4x2 + 1; d) x4 − 10x2 + 1.
    7.2. Ðàçëîæèòü ìíîãî÷ëåíû íà íåïðèâîäèìûå ìíîæèòåëè
ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè
     a) x4 + 4;     b) x6 + 27; c) x4 + 4x3 + 4x2 + 1;
     d) x − ax + 1; e) x8 − 1; f ) x12 + 1.
         4      2


    7.3. Ïîñòðîèòü ìíîãî÷ëåí f (x) íàèìåíüøåé ñòåïåíè ñ âå-
ùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè ïî äàííûì êîðíÿì:
a) äâîéíîé êîðåíü 1, ïðîñòûå êîðíè 2, 3 è 1 + i;
b) òðîéíîé êîðåíü −1 + 2i;
c) äâîéíîé êîðåíü i, ïðîñòîé −1 − i.



8    Îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû
Òåîðåìà 5. Âñÿêèé ìíîãî÷ëåí ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè ñ êîì-
ïëåêñíûìè (â ÷àñòíîñòè, c äåéñòâèòåëüíûìè) êîýôôèöèåí-
òàìè èìååò õîòÿ áû îäèí êîìïëåêñíûé êîðåíü.
   Òåîðåìà 5 âïåðâûå äîêàçàíà Ãàóññîì â êîíöå XVIII âåêà. Îíà
íàõîäèò ïðèìåíåíèå íå òîëüêî â âûñøåé àëãåáðå, íî è âî ìíî-
ãèõ äðóãèõ ðàçäåëàõ ìàòåìàòèêè (òåîðèÿ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ,
äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòà-
ìè, òåîðèÿ ÷èñåë è äð.). Äîëãîå âðåìÿ (à ÷àñòî è â íàøè äíè)
îíà íàçûâàëàñü îñíîâíîé òåîðåìîé àëãåáðû.
   Èç òåîðåìû 5 ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Áåçó ëåãêî âûâîäÿòñÿ òåî-
ðåìû 6 è 7:
Òåîðåìà 6. Âñÿêèé ìíîãî÷ëåí f (x) ñòåïåíè n > 1 íàä ïîëåì C
êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ðàçëàãàåòñÿ íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè, ò.å.
ïðåäñòàâèì â âèäå f (x) = a0 (x−α1 )(x−α2 ) . . . (x−αn ), ãäå a0 
ñòàðøèé êîýôôèöèåíò, à α1 , α2 , . . ., αn  êîìïëåêñíûå êîðíè
ìíîãî÷ëåíà f (x).

                                23

Страницы