Практикум по алгебре. Часть 1. Многочлены и их корни. Попов В.В - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

x
2
− 1 Q R C
Z x
2
− 1 = (x − 1)(x + 1)
x
2
−2 R C
Q Z
x
2
+ 1 C
Q R Z
f(x)
P P
f(x) n > 2
P
P
P > 4
P x
6
+ 1 R
2 3
f(x) 2 3
P ⇐⇒ f(x) P
f(x)
P f(x)
P
f(x)
C
   Ïðèìåðû.
a) Ìíîãî÷ëåí x2 − 1 ïðèâîäèì íàä ïîëÿìè Q, R è C, à òàêæå
íàä êîëüöîì Z, ïîñêîëüêó x2 − 1 = (x − 1)(x + 1).
b) Ìíîãî÷ëåí x2 − 2 ïðèâîäèì íàä ïîëÿìè R è C, íî íåïðèâî-
äèì íàä Q è íàä Z.
c) Ìíîãî÷ëåí x2 + 1 ïðèâîäèì íàä ïîëåì C, íî íåïðèâîäèì íàä
Q, R è Z.

   Åñëè ìíîãî÷ëåí f (x) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäå-
íèÿ òðåõ è áîëåå ñîìíîæèòåëåé ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè ñ êîýô-
ôèöèåíòàìè èç P, òî îí, î÷åâèäíî, ïðèâîäèì íàä P.
   Èç òåîðåìû Áåçó ëåãêî âûâîäèòñÿ
Ïðåäëîæåíèå 13. Åñëè ìíîãî÷ëåí f (x) ñòåïåíè n > 2 íàä
íåêîòîðûì ïîëåì (èëè êîëüöîì) P èìååò â ýòîì ïîëå êîðåíü,
òî îí ïðèâîäèì íàä P.
   Ïðèâîäèìûå íàä P ìíîãî÷ëåíû ñòåïåíè > 4 ìîãóò íå èìåòü
êîðíåé â P. Íàïðèìåð, ìíîãî÷ëåí x6 + 1 ïðèâîäèì íàä R, íî íå
èìååò äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé. Äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè 2 è 3
ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå
Ïðåäëîæåíèå 14. Ìíîãî÷ëåí f (x) ñòåïåíè 2 èëè 3 ïðèâîäèì
íàä íåêîòîðûì ïîëåì (èëè êîëüöîì) P ⇐⇒ f (x) èìååò â P
õîòÿ áû îäèí êîðåíü.
Òåîðåìà 4. Ïóñòü f (x)  ìíîãî÷ëåí ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè
íàä ïðîèçâîëüíûì ïîëåì (èëè êîëüöîì) P. Òîãäà f (x) ìîæíî
ðàçëîæèòü â ïðîèçâåäåíèå íåïðèâîäèìûõ (íàä P) ñîìíîæè-
òåëåé.
  Åñëè â òåîðåìå 4 ìíîãî÷ëåí f (x) íåïðèâîäèì, òî ÷èñëî ñî-
ìíîæèòåëåé ñ÷èòàåòñÿ ðàâíûì åäèíèöå.

  Çàäà÷è.

  7.1.  Ðàçëîæèòü íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè (íàä ïîëåì C)
ìíîãî÷ëåíû:

                             22

Страницы