Практикум по алгебре. Часть 1. Многочлены и их корни. Попов В.В - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

P P [x]
P
f(x) g(x) h(x)
P
(f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x));
f(x) + g(x) = g(x) + f(x);
f(x)(g(x) + h(x)) = f(x)g(x) + f(x)h(x),
R[x]
f(x) g(x)
P g(x)
q(x)
r(x) P
f(x) = g(x) · q(x) + r(x)
r(x) g(x)
q(x)
f(x) g(x) r(x)
P
P = Z f(x) =
x
2
+ 1 g(x) = 2x
Òåîðåìà 1. Ïóñòü P  ïîëå. Òîãäà ìíîæåñòâî P [x] ìíîãî÷ëå-
íîâ íàä P ÿâëÿåòñÿ êîììóòàòèâíûì, àññîöèàòèâíûì êîëü-
öîì ñ åäèíèöåé (íî íå ÿâëÿåòñÿ ïîëåì).
   Çàìåòèì, ÷òî â òåîðåìå 1 óòâåðæäàåòñÿ, â ÷àñòíîñòè, ÷òî äëÿ
ëþáûõ òðåõ ìíîãî÷ëåíîâ f (x), g(x) è h(x) ñ êîýôôèöèåíòàìè
èç ïîëÿ P ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà:

          (f (x) + g(x)) + h(x) = f (x) + (g(x) + h(x));
          f (x) + g(x) = g(x) + f (x);
          f (x)(g(x) + h(x)) = f (x)g(x) + f (x)h(x),

à òàêæå ðÿä äðóãèõ ðàâåíñòâ è ñâîéñòâ (ñì. Ïðèëîæåíèå 1).
Óïðàæíåíèå 3. Ïîêàçàòü, ÷òî êîëüöî R[x] ìíîãî÷ëåíîâ ñ äåé-
ñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè íå ÿâëÿåòñÿ ïîëåì.


1 Äåëåíèå ñ îñòàòêîì
Òåîðåìà 2. Ïóñòü f (x) è g(x)  ìíîãî÷ëåíû ñ êîýôôèöèåíòà-
ìè èç íåêîòîðîãî ïîëÿ P, ïðè÷åì g(x)  íåíóëåâîé ìíîãî÷ëåí.
Òîãäà ñóùåñòâóþò è åäèíñòâåííû òàêèå ìíîãî÷ëåíû q(x) è
r(x) ñ êîýôôèöèåíòàìè èç P, ÷òî

                    f (x) = g(x) · q(x) + r(x)

è ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà r(x) ìåíüøå ñòåïåíè g(x).
    Ìíîãî÷ëåí q(x) íàçûâàåòñÿ íåïîëíûì ÷àñòíûì îò äåëåíèÿ
f (x) íà g(x), à ìíîãî÷ëåí r(x)  îñòàòêîì.
   Çàìå÷àíèå. Çàêëþ÷åíèå òåîðåìû 2 ñòàíîâèòñÿ íåâåðíûì, åñ-
ëè P  êîëüöî, à íå ïîëå. Íàïðèìåð, â êîëüöå ìíîãî÷ëåíîâ ñ
öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè (ò.å. ïðè P = Z) ìíîãî÷ëåí f (x) =
x2 + 1 íåëüçÿ ðàçäåëèòü ñ îñòàòêîì íà g(x) = 2x, òàê êàê
êîýôôèöèåíòû ÷àñòíîãî è îñòàòêà  íå öåëûå ÷èñëà.


                                6

Страницы