Практикум по алгебре. Часть 2. Линейные пространства. Попов В.В - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

L e
1
e
2
e
n
e
0
1
e
0
2
e
0
n
n×n
j e
0
j
e
1
e
2
e
n
j = 1, 2, ..., n
x X
e
1
e
2
e
n
x
e
0
1
e
0
2
e
0
n
X
0
x
X = CX
0
C =
1 1 0
1 1 1
1 0 0
x
1
x
2
x
3
x
0
1
x
0
2
x
0
3
x
x
1
= x
0
1
+ x
0
2
, x
2
= x
0
1
+ x
0
2
+ x
0
3
, x
3
= x
0
1
.
L C
X = CX
0
x ∈ L
C
C
C
−1
C
−1
C
1
C
2
7 Ìàòðèöà ïåðåõîäà îò îäíîãî áàçèñà ê äðó-
  ãîìó. Ñâÿçü êîîðäèíàò âåêòîðà â ðàçëè÷íûõ
  áàçèñàõ
Ïóñòü L  âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî è â íåì çàäàíû áàçèñû e1 ,
e2 ,..., en ("ñòàðûé") è e01 , e02 ,..., e0n ("íîâûé"). Ìàòðèöåé ïåðåõîäà
îò ïåðâîãî áàçèñà êî âòîðîìó íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà ðàçìåðà n×n,
j -ûé ñòîëáåö êîòîðîé ñîñòàâëåí èç êîîðäèíàò âåêòîðà e0j â áàçè-
ñå e1 , e2 ,..., en , ãäå j = 1, 2, ..., n. Ïóñòü â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå
âûáðàí âåêòîð x. Îáîçíà÷èì ÷åðåç X ìàòðèöó, åäèíñòâåííûé
ñòîëáåö êîòîðîé ñîñòàâëåí èç êîîðäèíàò ýòîãî âåêòîðà â áàçèñå
e1 , e2 ,..., en . Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì èç êîîðäèíàò âåêòîðà x â
áàçèñå e01 , e02 ,..., e0n ñîñòàâèì ìàòðèöó X 0 . Òîãäà ñïðàâåäëèâî
Ïðåäëîæåíèå 13. Êîîðäèíàòû âåêòîðà x â ñòàðîì è íîâîì
áàçèñå ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì X = CX 0 .
                                                            
                                                      1 1 0
   Ïðèìåð. Ïóñòü ìàòðèöà ïåðåõîäà C =  1 1 1 . Òîãäà
                                                      1 0 0
"ñòàðûå" x1 , x2 , x3 è "íîâûå" x01 , x02 , x03 êîîðäèíàòû ïðîèçâîëü-
íîãî âåêòîðà x ñâÿçàíû ðàâåíñòâàìè
           x1 = x01 + x02 ,   x2 = x01 + x02 + x03 ,   x3 = x01 .
Ëåììà 3. Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâ L âûáðàíî äâà áàçèñà è C 
òàêàÿ ìàòðèöà, ÷òî X = CX 0 äëÿ ëþáîãî âåêòîðà x ∈ L.
Òîãäà C  ìàòðèöà ïåðåõîäà îò ïåðâîãî áàçèñà êî âòîðîìó.
Ïðåäëîæåíèå 14. Äëÿ ëþáûõ äâóõ áàçèñîâ âåêòîðíîãî ïðî-
ñòðàíñòâà ìàòðèöà ïåðåõîäà C îò ïåðâîãî áàçèñà êî âòîðîìó
íåâûðîæäåíà. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ìàòðèöà C −1 .
Ïðè ýòîì C −1 ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé ïåðåõîäà îò âòîðîãî áàçèñà
ê ïåðâîìó.
Ïðåäëîæåíèå 15. Ïóñòü â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå âûáðàíî
òðè áàçèñà. Ïóñòü C1  ìàòðèöà ïåðåõîäà îò ïåðâîãî áàçè-
ñà êî âòîðîìó è C2  ìàòðèöà ïåðåõîäà îò âòîðîãî áàçèñà ê

                                    21

Страницы