Векторная алгебра. Попов В.А - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

6
10. Даны векторы a = {2; 4; 4} и b = {2; –6; 3}. Вычислить: 1)
a b
; 2)
2
a
; 3)
2
b
; 4)
(
)
(
)
baba −+ 23
; 5)
(
)
.
2
ba −
11. Даны вершины четырёхугольника
А
(1; –2; 2),
В
(1; 4; 0),
С
(–4; 1; 1) и
D
(–5; –5; 3). Доказать, что его диагонали
АС
и
ВD
взаимно перпендикулярны.
12. Вычислить проекцию вектора
a
= {5; 2; 5} на ось вектора
b
= {2; –1; 2} и найти косинус угла между этими векто-
рами.
13. Вычислить проекцию вектора
a
= {6; 3; 2} на ось вектора
b
= {2; 2; 1} и найти косинус угла между этими вектора-
ми.
14. Даны вершины
А
(–1; –2; 4),
В
(–4; –2; 0) и
С
(3; –2; 1) треугольника. Определить его внутренний угол при вершине
В
.
15. Даны три вектора
a
= {2; –1; –3},
b
= {1; –3; 2} и
c
= {3; –4; 12}. Найти вектор
x
, удовлетворяющий условиям:
5
−
=
ax
,
11−=
bx
,
20
=
cx
.
16. Определить и построить вектор
bac
×=
, если 1)
,3
ia
=
;2
kb
= 2) ;,
jibjia
−=+= 3) .23,32
kjbjia
+=+=
17. Раскрыть скобки и упростить выражения:
1)
(
)
(
)
(
)
;
kjikkijkji
++×++×−+×
2)
(
)
(
)
(
)
;
acbbcbaccba
×−+×+++×++
3)
(
)
(
)
(
)
(
)
;2
bacbacba
+×++−×+
4)
(
)
(
)
(
)
.432
jikkijkji
××+××+××
18. Векторы
a
и
b
образуют угол
3
2π
=ϕ
. Зная, что
1=
a
и
2=
b
, вычислить: 1)
;
2
ba ×
2)
(
)
(
)
2
23 baba −×+
; 3)
(
)
(
)
.33
2
baba −×+
Даны векторы
a
= {3; –1; –2} и
b
= {1; –2; –1}. Вычислить:
1)
;ba ×
2)
(
)
;2 bba ×+
3)
(
)
(
)
.23 baba −×+
Даны векторы
a
= {1; 1; –3} и
b
= {3; 2; 0}. Вычислить:
1)
;ba ×
2)
(
)
;3 bba ×+
3)
(
)
(
)
.32 baba −×+
19. Построить параллелограмм на векторах
kja += 2
и
kib 2+=
и вычислить его площадь и высоту.
Даны вершины
А
(1; –2; 8),
В
(0; 0; 4) и
С
(6; 2; 0) треугольника.
Вычислить его площадь и длину высоты, опущенной из вершины
В
на сторону
АС
.
20. Даны вершины
А
(1; –1; 2),
В
(5; –6; 2) и
С
(1; 3; –1) треугольника. Вычислить его площадь и длину высоты, опущен-
ной из вершины
В
на сторону
АС
.
21. С помощью векторного произведения выяснить, коллинеарны ли векторы
a
= {1; 0; 3} и
b
= {2; 0; 6}.
22. Векторы
a
,
b
и
с
, образующие правую тройку, взаимно перпендикулярны. Зная, что
2,4 == ba
и
3=c
, вы-
числить
a b
с
.
23. Вектор
с
перпендикулярен к векторам
a
и
b
, угол между векторами
a
и
b
равен 30°. Зная, что
3,6 == ba
и
3=c
, вычислить
a b
с
.
Даны три вектора:
a
= {0; 1; –3},
b
= {3; 2; 1},
с
= {1; 3; 2}.
Вычислить
a b
с
.
24. Установить, компланарны ли векторы:
1)
a
= {2; 3; –1},
b
= {1; –1; 3},
с
= {1; 9; –11};
2)
a
= {1; 1; –3},
b
= {0; 1; 0},
с
= {1; 1; 1};
3)
a
= {2; –1; 2},
b
= {1; 2; –3},
с
= {3; –4; 7}.
Доказать, что четыре точки
А
(1; 2; –1),
В
(0; 1; 5),
С
(–1; 2; 1),
D
(2; 1; 3) лежат в одной плоскости.
25. Вычислить объём пирамиды, вершины которой находятся в точках
А
(5; 2; 0),
В
(2; 5; 0),
С
(1; 2; 4),
D
(0; 0; 0).
Даны вершины пирамиды:
А
(2; 3; 1),
В
(4; 1; –2),
С
(6; 3; 7),
D
(–5; –4; 8). Найти длину его высоты, опущенной из вершины
D
.

Страницы