ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
18
1. Смешанное произведение [
a
,
b
]
c
равно объёму параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу
векторах
a
,
b
,
c
, если они образуют правую тройку, или числу, противоположному значению этого объёма, если
a
,
b
,
c
– левая тройка. Если
a
,
b
и
c
компланарны, то [
a
,
b
]
c
= 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о .
а) Если
a
,
b
и
c
компланарны, то вектор [
a
,
b
] ортогонален плоскости векторов
a
и
b
,
и, следовательно, [
a
,
b
]
⊥
c
. Поэтому [
a
,
b
]
c
= 0.
б) Если
a
,
b
и
c
не компланарны, [
a
,
b
]
c
=
[
]
cba,
cosφ =
S
|
c
|cosφ, где φ – угол между
c
и [
a
,
b
]. Тогда
±
|
c
|cosφ – высота рассматриваемого параллелепипеда. Таким образом, [
a
,
b
]
c
=
±
V
, где выбор знака зависит от величи-
ны угла между
c
и [
a
,
b
], т.е. от ориентации векторов
a
,
b
,
c
. Утверждение доказано.
Следствие. [
a
,
b
]
c
=
a
[
b
,
c
].
Действительно, обе части равенства представляют объём одного и того же параллелепипеда. Поэтому положение век-
торных скобок в смешанном произведении не важно, и в его обозначении скобки не ставятся:
a b c
.
2. Если
a
= {
X
a
;
Y
a
;
Z
a
},
b
= {
X
b
;
Y
b
;
Z
b
},
c
= {
X
c
;
Y
c
;
Z
c
}, то
a b c
=
.
ccc
bbb
aaa
ZYX
ZYX
ZYX
Д о к а з а т е л ь с т в о . Используя координатную запись скалярного и векторного произведения, запишем: [
a
,
b
]
c
=
(
Y
a
Z
b
– Y
b
Z
a
)
X
c
+ (
X
b
Z
a
– X
a
Z
b
)
Y
c
+ (
X
a
Y
b
– X
b
Y
a
)
Z
c
=
=+−
c
bb
aa
c
bb
aa
c
bb
aa
Z
YX
YX
Y
ZX
ZX
X
ZY
ZY
.
ccc
bbb
aaa
ZYX
ZYX
ZYX
=
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бугров, Я.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М. : Наука,
1984.
2. Ефимов, Н.В. Краткий курс аналитической геометрии / Н.В. Ефимов.– М. : Наука, 1975.
3. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д.В. Беклемишев. – М., 1987, 1998.
4. Кудрявцев, В.А. Краткий курс высшей математики / В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович.– М., 1985.
5. Высшая математика для экономистов / под ред. Н.Ш. Кремера. – изд. 2–ое. – М. : Банки и биржи, 1998.
6. Клетеник, Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии / Д.В. Клетеник. – М., 1975.
7. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко и др.– Ч. 1. – М. : Высшая школа, 1986, 1996,1997.
8. Рябушко, А.П. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике : учебное пособие для вузов в 3-х ч. / А.П.
Рябушко – Минск : Высшая школа, 1990
9. Математика : учебные задания. Ч. 2 / сост. : А.В. Медведев, В.А. Попов, И.В. Петрова, А.И. Урусов, А.В. Щербакова.
– Тамбов : Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2004.
10. Линьков, В.М. Высшая математика в примерах и задачах. Компьютерный практикум : учебное пособие / В.М. Линь-
ков, Н.Н. Яремко ; под ред. А.А. Емельянова. – М. : Финансы и статистика, 2006.
