Векторная алгебра. Попов В.А - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

14
B
а
a
B
′
А
′
A
пр
и
ϕ
u
Свойства умножения вектора на число
:
1.
k
(
а
+
b
)
= k
а
+ k
b
.
2. (
k + m
)
а
= k
а
+ m
а
.
3.
k
(
m
а
)
=
(
km
)
а
.
Следствие. Если ненулевые векторы
а
и
b
коллинеарны, то существует такое число
k
, что
b
= k
а
.
2. БАЗИС И КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
Определение 8.
Линейной комбинацией
векторов
а
1,
а
2
, …,
а
n
называется выражение вида:
k
1
а
1
+ k
2
а
2
+…+ k
n
а
n
, (1)
где
k
i
– действительные числа.
Определение 9.
Векторы
а
1,
а
2
, …,
а
n
называются
линейно зависимыми
, если найдутся такие числа
k
1
,
k
2
, …,
k
n
не
все равные нулю, что соответствующая линейная комбинация векторов равна нулю, т.е.
k
1
а
1
+ k
2
а
2
+ … + k
n
а
n
=
0
. (2)
Если же равенство (2) возможно только при всех
k
i
= 0, то векторы называются
линейно независимыми
.
Свойства линейной зависимости векторов
:
1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.
2. Если среди
n
векторов какие-либо (
n
– 1) линейно зависимы, то и все
n
векторов линейно зависимы.
3. Любые три вектора на плоскости линейно зависимы.
4. Любые четыре вектора в трёхмерном пространстве линейно зависимы.
Определение 10.
Базисом
на плоскости (в пространстве) называются два (три) любых линейно независимых вектора.
Любой вектор плоскости (пространства) может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов. Чи-
словые коэффициенты этой линейной комбинации называются
координатами
данного вектора в рассматриваемом базисе.
Если
а
,
b
,
c
– базис и
d
= k
а
+ m
b
+ p
c
, то числа
k
,
m
,
p
есть координаты вектора
d
в базисе
а
,
b
,
c
.
Представление вектора в виде линейной комбинации базисных векторов называется разложением вектора
d
в базисе
векторов
а
,
b
,
c
и обозначается символически
d
=
{
k
;
m
;
p
}.
Свойства базиса
:
1. Разложение вектора по данному базису единственно, т.е. его координаты в этом базисе определяются единственным
образом.
2. При сложении двух векторов их координаты в данном базисе складываются.
3. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
Определение 11.
Проекцией
вектора
AB
на ось
u
называется положительное число
BA
′′
, если направления вектора
B
A
′′
и направление оси
u
совпадают и отрицательное число –
BA
′′
, если вектор
B
A
′′
и ось
u
противоположно направлены. Точки
A
′
и
B
′
являются основаниями
перпендикуляров, опущенных из точек
А
и
В
на ось
u
. Проекция вектора
а
=
AB
на ось
u
обозначается: пр
u
а
, пр
u
AB
.
Свойства проекции
:
1. пр
u
а
= |
а
|cosφ, где φ – угол между
а
и осью
u
.
2. При сложении двух векторов их проекции на любую ось складываются.
3. При умножении вектора на число его проекция на любую ось умножается
на это число.
Рассмотрим декартову систему координат, базис которой образуют в про-
странстве три попарно ортогональных единичных вектора
i
,
j ,
k
.
Любой точке
М
(
x
,
y
,
z
) в пространстве можно поставить
в соответствие радиус-вектор a =
ОМ
, имеющий начало в точке
О
– начале координат. Используя определение 5 суммы
векторов, получаем
ОP
=
21
ОМОМ
+
и

Страницы