Векторная алгебра. Попов В.А - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

13
А В
С
О
cb +
b
a
+
с
b
а
IV. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
Определение 1.
Вектором
называется направленный отрезок.
Обозначения: a,
а
r
,
AB
. Длина этого отрезка называется модулем вектора и обозначается
,а
,
а
.AB
Определение 2. Векторы называются
коллинеарными
, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Определение 3. Векторы называются
компланарными
, если они лежат в одной плоскости или на параллельных плос-
костях.
Вектор называется
нулевым
, если его начальная и конечная точки совпадают. Нулевой вектор не имеет определённого
направления и считается коллинеарным и перпендикулярным любому вектору.
Определение 4. Два вектора называются
равными
, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину (модуль) и одина-
ковое направление.
Из определения 4 следует, что равные между собой векторы могут иметь различные начальные точки. Такие векторы
называются
свободными
.
Векторы, для которых важна точка приложения, называются присоединёнными (связанными) и
используются в некоторых разделах физики.
Определение 5.
Суммой
а
+
b
векторов
а
и
b
называется вектор, идущий из начала
вектора
а
в конец вектора
b
, если начало век-
тора
b
совпадает с концом вектора
а
.
Такое правило сложения векторов называ-
ют
правилом
треугольника
.
Свойства
сложения
:
1.
а
+
b
=
b
+
а
.
Д о к а з а т е л ь с т в о .
Приложим векторы
а
и
b
к
общему началу и рассмотрим
параллелограмм
AOBC
. Из оп-
ределения 5 и треугольника
ОВС
следует, что
ОС
=
b
+
а
, а
из треугольника
ОАС
:
ОС
=
=
а
+
b
.
Свойство 1 доказано.
В ходе доказательства свойства 1 получено ещё одно правило сложения векторов –
правило
параллелограмма
: сумма
а
+
b
векторов
а
и
b
есть вектор образованный диагональю параллелограмма, выходящей из общего начала векторов
а
и
b
, на которых построен параллелограмм.
2. (
а
+
b
) +
с
=
а
+ (
b
+
с
).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из рисунка видно, что (
а
+
b
)
+
с
=
(
)
++ ABOA
+
=BC
,
OCBCOB
=+
(
)
=++ cba
=
OA
(
)
.OCACOABCAB =+=++
Свойство 2 доказано.
3. Для любого вектора
а
существует нулевой вектор
0
такой, что
а
+
0
=
а
.
Доказательство этого свойства следует из определения 5.
4. Для каждого вектора
а
существует противоположный ему вектор –
а
такой, что
а
+
(–
а
) =
0
.
Доказательство. Достаточно определить –
а
как вектор, коллинеарный вектору
а
, имеющий одинаковую с ним
длину и противоположное направление.
Определение 6.
Разностью
а
– –
b
векторов
а
и
b
называется такой вектор, ко-
торый в сумме с вектором
b
даёт вектор
а
.
Определение 7.
Произведением
k
а
вектора
а
на число
k
называется вектор
b
,
коллинеарный вектору,
а
имеющий модуль, равный |
k
||
а
|, и направление, совпадаю-
щее с направлением
а
при
k
> 0 и противоположное
а
при
k <
0
.
ab −
b
а
а
С
А
В
О
b
+
а
а
+
b
b
b
а
b
а
b
а
+

Страницы