Векторная алгебра. Попов В.А - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

11
Из а) следует, что векторы
b и
с
не ортогональны, так как скалярное произведение этих векторов не равно нулю. Най-
дём скалярные произведения векторов
а
,
с
и
а
, b :
а с
= 0 ⋅ 3 + (–5) ⋅ (–5) + (–1) ⋅ 0 = 25 ≠ 0;
а
b
= 0 ⋅ (–2) + (–5) ⋅ 2 + (–1) ⋅ (–1) = –9 ≠ 0.
Это значит, что векторы
а
и
с
,
а
и
b
не ортогональны.
д) Условием компланарности трёх векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Из в) следует, что
а
b
с
≠ 0. Это значит, что векторы
а
,
b
и
с
не компланарны.
3. Доказать, что векторы
а
{1; 3; –1},
b
{1; 0; 1} и
с
{0; 1; 1} образуют базис, и найти координаты вектора
d
{5; –3; 2}
в этом базисе.
Решение
.
Три вектора образуют базис, если они не компланарны, т.е. смешанное произведение
а
b
с
≠ 0.
Найдём смешанное произведение векторов
а
,
b
и
с
:
,05
110
101
131
≠−=
−
=cb
а
следовательно, векторы
а
,
b
,
с
образуют базис.
Обозначим координаты вектора
d
в базисе
а
b
с
через
х
,
у
и
z.
Тогда
,czbyaxd ++=
или, переходя к координатной форме
,
2
3
5
1
1
0
1
0
1
1
3
1
−=
+
+
−
= zyx
получим
=++−
−=+
=+
.2
;33
;5
zyx
zx
yx
Решая по формулам Крамера, найдём:
;0,0
112
103
015
,5
111
103
011
, ==−=∆−=
−
=∆
∆
∆
= x
x
x
x
;5,25
121
133
051
, =−=
−
−=∆
∆
∆
= yy
y
y
.15,15
303
511
, ==
−
=∆
∆
∆
= z
z
z
z
Таким образом,
d
= 5
b
– 3
c
или
d
{0; 5; –3} в базисе
а
b
с
.
4. Вершины пирамиды находятся в точках
A
(2; –1; 1),
B
(–2; 3; 1),
C
(1; 2; 3) и
D
(1; –2; 2). Вычислите: а) площадь грани
ABC
; б) площадь сечения, проходящего через середину ребра
AB
и
вершины
C
и
D
пирамиды; в) объём пирамиды
ABCD
.
Решение
.
а) Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма построенного на тех же векторах, т.е.
[
]
.,
2
1
ACABS
ABC
=
Найдём координаты векторов
AC
АB
и
:
0);4;;4()11 ;)1(3 ;22( −=−−−−−
АB

Страницы