Векторная алгебра. Попов В.А - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

10
III. РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА
1. Даны вершины
А
(0; 2),
В
(4; 1),
С
(–2; –3) треугольника
АВС
. Найти: а) длину медианы
АE
; б) внутренний угол
С
.
Решение
.
а) Для нахождения длины медианы
АЕ
используем формулу расстояния между двумя точками:
( ) ( )
.
22
AEAE
yyxxAE −+−=
Координаты точки
Е
найдём по формулам координат середины отрезков:
( ) ( )
;124
2
1
,
2
1
=−=+=
ECBE
xxxx
( ) ( )
.131
2
1
,
2
1
−=−=+=
ECBE
yyyy
Е
(1; –1), тогда
( ) ( )
.102101
22
=−−+−=AE
б) Внутренний угол
С
треугольника
АВС
образован векторами
СА
и
СB
. Используя формулу косинуса угла между
векторами cos∠
С
=
,
СВСА
СВСА
⋅
⋅
=
определим угол
С
. Найдём координаты и длины векторов CA и CB :
( )
,512),1;2()3(2);2(0
22
=+==−−−−=
САСА
( )
.1345246),4;6()3(1);2(4
22
==+==−−−−=
СВСВ
Скалярное произведение векторов CA и CB равно:
CA ⋅ CB = 2 ⋅ 6 + 1 ⋅ 4 = 16,
тогда
cos∠
С
=
,
65
4
1345
16
=
⋅
∠
С
= arccos
.
65
4
2. Даны векторы
а
{0; –5; –1}, b {–2; 2; –1} и
с
{3; –5; 0}. Вычислите: а) скалярное произведение b ,
с
; б) модуль век-
торного произведения векторов
а
, b ; в) смешанное произведение векторов
а
, b и
с
. Проверьте: г) будут ли коллинеарны
или ортогональны какие-либо два из трёх заданных векторов; д) будут ли компланарны три заданных вектора.
Решение
.
а) Найдём скалярное произведение векторов b и
с
:
с
b = –2 ⋅ 3 + 2 ⋅ (–5) + (–1) ⋅ 0 = –16.
б) Чтобы вычислить
[
]
b
а
,
, найдём координаты векторного произведения
[
]
b
а
,
:
[ ]
( ) { }
,10;2;71027)100()20()2(5
22
50
12
10
12
15
122
150,
−=−+=−+−−−−=
=
−
−
+
−−
−
−
−
−−
=
−−
−−=
kjikji
kji
kji
b
а
тогда
[
]
.153)10(27,
222
=−++=b
а
в) Смешанное произведение векторов
а
,
b
и
с
найдём по формуле
,
053
122
150
−
−−
−−
=cb
а
вычислив определитель третьего порядка, получим
а
b
с
= 11.
г) Два вектора коллинеарны, если их координаты пропорциональны или векторное произведение равно нулевому векто-
ру. Из б) следует, что
[
]
,0, ≠b
а
следовательно векторы
а
и
b
не коллинеарны. Проверим коллинеарность векторов
а
и
с
,
b
и
с
:
0 5 1
3 5 0
− −
≠ ≠
−
, следовательно, векторы
а
и
с
не коллинеарны.
2 2 1
3 5 0
− −
≠ ≠
−
, следовательно, векторы
b
и
с
не
коллинеарны.

Страницы