ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
15
радиус-вектор
a
=
ОМ
=
3
ОМОP
+
=
321
ОМОМОМ
++
. А так как
iX
ОМ
=
1
,
jX
ОМ
=
2
и
kX
ОМ
=
3
, то разложение
радиус-вектора
a
в базисе векторов
i
,
j ,
k будет иметь вид a =
ОМ
=
X
i
+
Y
j
+
Z
k . Таким образом, координаты точ-
ки
М
(
x
,
y
,
z
) и координаты соответствующего ей радиуса-вектора a =
ОМ
= {
X
,
Y
,
Z
} совпадают. Используя формулу
2
3
2
2
2
1
2
ОМОМОМОМ
++=
для вычисления длины диагонали прямоугольного параллелепипеда, получим выражение
для модуля вектора
222
2
ZYXa
++=
или
222
ZYXa ++=
.
Если вектор в пространстве
определяется начальной точкой
N
1
(
X
1
,
Y
1
,
Z
1
) и конечной точкой
N
2
(
X
2
,
Y
2
,
Z
2
), то его можно выра-
зить через радиусы-векторы этих
точек
1221
ONONNN −=
или в ко-
ординатной форме
21
NN
= {
X
2
–
X
1
;
Y
2
–
Y
1
;
Z
2
–
Z
1
}.
З а м е ч а н и е 1. Декартовы координаты вектора равны его проекциям на оси
Ох
,
Оу
и
Оz
декартовой системы коорди-
нат.
З а м е ч а н и е 2. Расстояние
L
между точками
N
1
(
X
1
,
Y
1
,
Z
1
) и
N
2
(
X
2
,
Y
2
,
Z
2
) выражается формулой
( ) ( ) ( )
.
2
12
2
12
2
1221
ZZYYXXNNL −+−+−==
Определение 12.
Косинусы углов, образованных вектором
d
= {
X
,
Y
,
Z
} c осями декартовой системы координат, на-
зываются его
направляющими косинусами.
Cвойства направляющих косинусов
:
1.
X
=
d
cosα;
Y
=
d
cosβ;
Z
=
d
cosγ.
2.
222
cos
ZYX
X
++
=α ;
222
cos
ZYX
Y
++
=β ;
222
cos
ZYX
Z
++
=γ .
3. cos
2
α + cos
2
β + cos
2
γ = 1.
3. УСЛОВИЕ КОЛЛИНЕАРНОСТИ ВЕКТОРОВ
Пусть два ненулевых вектора
a
=
a
x
i
+
a
y
j
+
a
z
k
и
b
=
b
x
i
+
b
y
j
+
b
z
k
коллинеарны. Тогда, пользуясь определением
7, запишем
a
= λ
b
, где λ – некоторое действительное число, т.е.
a
x
i
+
a
y
j
+
a
z
k
= λ(
b
x
i
+
b
y
j
+
b
z
k
) = λ
b
x
i
+ λ
b
y
j
+
λ
b
z
k
. Разложение вектора по данному базису единственно, поэтому получаем
a
x
=λ
b
x
,
a
y
= λ
b
y
,
a
z
= λ
b
z
, т.е.
у
О
М
а
M
3
(0, 0,
z
)
M
2
(0,
y
, 0)
M
1
(
x
, 0, 0)
а а
k
z
P
(
x
,
y
, 0)
x
i
j
α
x
d
O
γ
z
y
x
z
N
1
N
2
O
y
