ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
17
6. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Векторы
a
,
b
,
с
, для которых определен порядок следования называются упорядоченной тройкой векторов.
Определение 14. Тройка некомпланарных векторов
a
,
b
,
с
называется правой (левой), если после приведения к об-
щему началу кратчайший поворот от вектора
a
к вектору
b
, наблюдаемый с конца вектора
с
, виден совершающимся про-
тив (по) часовой стрелке.
a
,
b
,
с
– правая тройка
a
,
b
,
с
– левая тройка
Определение 15. Вектор
с
называется
векторным произведением
векторов
a
и
b
, если:
1.
|
с
| = |
a
||
b
|sinφ, где φ – угол между
a
и
b
.
2.
с
⊥
a
и
с
⊥
b
.
3. Тройка векторов
a
,
b
,
с
является правой.
Обозначения векторного произведения:
с
= [
a
,
b
],
с
=
a
×
b
.
Свойства векторного произведения
:
1. [
b
,
a
] = –[
a
,
b
].
Д о к а з а т е л ь с т в о . Вектор
с
удовлетворяет первым двум условиям определения векторного произведения и обра-
зует с векторами
b
и
a
правую тройку векторов.
2. Если [
a
,
b
] =
0
, то векторы
a
и
b
коллинеарны.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из первого пункта определения 15 следует, что модуль векторного произведения ненулевых век-
торов равен нулю только при sinφ = 0, что соответствует коллинеарности векторов
a
и
b
.
3. Модуль векторного произведения
[
]
ba,
равняется площади
S
параллелограмма, построенного на приведённых к
общему началу векторах
a
и
b
.
Доказательство следует из первого пункта определения 15.
4. [(
k
a
),
b
] =
k
[
a
,
b
].
5. [(
a
+
b
),
с
] = [
a
,
с
] + [
b
,
с
].
6. Если в декартовой системе координат
a
= {
X
a
;
Y
a
;
Z
a
},
b
= {
X
b
;
Y
b
;
Z
b
}, то
[
a
,
b
] =
.,,
bbb
aaa
bb
aa
bb
aa
bb
aa
ZYX
ZYX
kji
YX
YX
ZX
ZX
ZY
ZY
r
r
r
=
−
Д о к а з а т е л ь с т в о . Представим векторы
a
и
b
в виде:
a
= X
a
i
+ +
Y
a
j +
Z
a
k ; b =
X
b
i
+
Y
b
j +
Z
b
k . Отметим,
что [
i
, j ] = k ; [ j , k ] = =
i
; [ k ,
i
] = j ; [
i
,
i
] = [ j , j ] = [ k , k ] =
0
. Тогда с использованием свойств 4 и 5 полу-
чим: [ a , b ] = [(
X
a
i
+ Y
a
j
+ Z
a
k )(
X
b
i
+ Y
b
j
+ Z
b
k )] = (
Y
a
Z
b
– Y
b
Z
a
)
i
+
(
X
b
Z
a
– X
a
Z
b
) j
+
(
X
a
Y
b
– X
b
Y
a
) k =
=
bbb
aaa
bb
aa
bb
aa
bb
aa
ZYX
ZYX
kji
k
YX
YX
j
ZX
ZX
i
ZY
ZY
r
r
r
=+−
, что доказывает свойство 6.
7. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Определение 16.
Смешанным произведением
векторов a , b и c
называется результат скалярного умножения вектор-
ного произведения [ a , b ] на вектор c .
Обозначение:
a b c = [ a , b ] c
.
Свойства смешанного произведения
:
a
с
b
a
b
с
