ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
16
λ=λ=λ=
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
,,
или
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
==
– условие коллинеарности векторов. Таким образом, координаты коллинеарных
векторов пропорциональны. Верно и обратное утверждение: векторы, имеющие пропорциональные координаты, коллинеар-
ны.
4. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ЗАДАННОМ ОТНОШЕНИИ
Пусть даны точки
M
1
(
X
1
,
Y
1
,
Z
1
) и
M
2
(
X
2
,
Y
2
,
Z
2
).
Найдём координаты точки
M
(
X
,
Y
,
Z
), лежащей на отрезке
M
1
M
2
и делящей его в данном отношении
2
1
MM
M
М
=λ
. Из оп-
ределения 7 следует, что
21
MMMM λ=
или
(
)
(
)
(
)
(
)
+−λ=−+−+− iXXkZZjYYiXX
2111
(
)
(
)
kZZjYY −λ+−λ
22
. От-
сюда
(
)
(
)
XXXX −λ=−
21
,
(
)
=−
1
YY
(
)
,
2
YY −λ=
(
)
(
)
ZZZZ −λ=−
21
и окончательно получаем:
λ+
λ+
=
1
21
XX
X
;
λ+
λ+
=
1
21
YY
Y
;
λ+
λ
+
=
1
21
ZZ
Z
.
З а м е ч а н и е . Если точка
M
(
X
,
Y
,
Z
) делит отрезок
M
1
M
2
пополам, то λ = 1 и её координаты определятся по формулам:
2
21
XX
X
+
=
;
2
21
YY
Y
+
=
;
2
21
ZZ
Z
+
=
.
5. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Определение 13.
Скалярным произведением
двух векторов называется число, равное произведению модулей векторов
на косинус угла между ними:
.cosϕ= baba
(3)
Обозначения скалярного произведения:
ba
,
(
)
ba,
,
ba ⋅
.
Свойства скалярного произведения
:
1.
ba
=
a
пр
a
bb =
пр
b
a
.
Д о к а з а т е л ь с т в о . По свойству проекции пр
a
bb =
cosφ
и пр
b
aa =
cosφ,
следовательно,
ba
=
a
пр
a
bb =
пр
b
a
.
2. Для того чтобы векторы были перпендикулярными, необходимо и достаточно, чтобы
ba
= 0.
3.
ba
=
ab
.
4. (
k
a
)
b
= k
(
a
,
b
).
5. (
a
+
b
)
c
=
a c
+
b c
.
6.
a
2
=
a a
= |
a
|
2
, где
a
2
– называется скалярным квадратом вектора
a
.
7. Если векторы
a
и
b
определены своими декартовыми координатами:
a
= {
X
1
,
Y
1
,
Z
1
},
b
= {
X
2
,
Y
2
,
Z
2
}, то
a b
=
X
1
X
2
+
Y
1
Y
2
+
Z
1
Z
2
. (4)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Используя формулу (3), получим
a b
=
(
X
1
i
+ + Y
1
j
+ Z
1
k
)(
X
2
i
+ Y
2
j
+ Z
2
k
)
.
Используя свойства 4 и 5, раскроем скобки в правой части полученного равенства:
a b
= X
1
X
2
i i
+Y
1
Y
2
j j
+ Z
1
Z
2
k k
+ X
1
Y
2
i
j
+X
1
Z
2
i
k
+
+
Y
1
X
2
j
i
+ Y
1
Z
2
j k
+ Z
1
X
2
k
i
+ Z
1
Y
2
k j
.
Но
i i
=
j j
=
k
k
= 1 по свойству 6,
i
j
=
j
i
=
i
k
=
k
i
=
j k
=
k j
= 0 по свойству 2, поэтому
a b
=
X
1
X
2
+
Y
1
Y
2
+
Z
1
Z
2
.
8. cosφ =
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
ZYXZYX
ZZYYXX
++⋅++
++
.
9. пр
a
b
=
2
1
2
1
2
1
212121
ZYX
ZZYYXX
++
++
; пр
b
a
=
2
2
2
2
2
2
212121
ZYX
ZZYYXX
++
++
.
З а м е ч а н и е . Свойства 2, 3, 6 доказываются из определения 13, свойства 4, 5 – из свойств проекции, свойство 8, 9 – из
определения 13 и свойства 7.
