Линейная алгебра. Постникова Л.С - 5 стр.

UptoLike

Рубрика: 

5
5. Пусть задана матрица А n- го порядка. Вычеркнем в ней i-ую строку и
k-й столбец и сдвинем, не нарушая порядка, оставшиеся элементы. Определи-
тель полученной матрицы (n-1)-го порядка называется минором элемента i-ой
строки и k- го столбца. Обозначим его M
i
k
6. Пусть А - матрица n-го порядка. Минор M
i
k
, взятый со знаком ()
+
1
ik
,
называется алгебраическим дополнением элемента
a
i
k
. Обозначается A
i
k
.
7.
Определитель матрицы А n-го порядка равен сумме произведений всех
элементов какой-нибудь фиксированной строчки или фиксированного столбца
на их алгебраические дополнения, т.е.
AaA aA aA
ii i i inin
=
+
++
11 2 2
... .
8.
Рангом матрицы А называется наивысший порядок минора, составлен-
ного из элементов А, отличный от нуля.
Например, A
24
317 1
430 3
×
. Наивысший порядок минора для матрицы А ра-
вен 2.
M
2
31
43
9450===
R
A
rangA() .
=
=
2
9.
ax ax ax b
ax ax ax b
ax ax ax b
ax a x ax b
nn
nn
nn
nn nnnn
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
31 1 32 2 3 3
11 2 2
+++=
+++=
+++=
+++=
...
...
...
.
...
. . . . . . .
(1) - неоднородная система n линейных уравнений с n неизвестными, если
хотя бы один из свободных членов
bi n
i
=
012,,,...,.
10. Если все b
i
= 0, то система (1) однородная.
11. Теорема Кронеккера -Капелли (об исследовании решений системы
(1)). Aa i n k n
ik
( ), , ,..., ; , ,..., =
=
12 12 - матрица системы. С - расширенная матри-
ца, полученная из матрицы А присоединением столбца свободных членов.
I.
Если R(A)=R( C )=r, то система (1) совместна, т.е. имеет решение.
II. Если r = n, то система (1) имеет единственное решение.