Линейная алгебра. Постникова Л.С - 5 стр.

                                               5


      5. Пусть задана матрица А n- го порядка. Вычеркнем в ней i-ую строку и
k-й столбец и сдвинем, не нарушая порядка, оставшиеся элементы. Определи-
тель полученной матрицы (n-1)-го порядка называется минором элемента i-ой
строки и k- го столбца. Обозначим его Mik

      6. Пусть А - матрица n-го порядка. Минор Mik , взятый со знаком ( −1)i + k ,
называется алгебраическим дополнением элемента aik . Обозначается Aik .
      7. Определитель матрицы А n-го порядка равен сумме произведений всех
элементов какой-нибудь фиксированной строчки или фиксированного столбца
на их алгебраические дополнения, т.е. A = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 +...+ ain Ain .
      8. Рангом матрицы А называется наивысший порядок минора, составлен-
ного из элементов А, отличный от нуля.
              ⎛ 3 1 7 − 1⎞
Например, A ⎜            ⎟ . Наивысший порядок минора для матрицы А ра-
         2 × 4⎝ 4 3 0 3 ⎠

             3 1
вен 2. M 2 =     = 9−4 =5≠ 0            R( A) = rangA = 2.
             4 3

         ⎧a11x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1
         ⎪a x + a x +...+ a x = b
         ⎪⎪ 21 1 22 2             2n n     2
      9. ⎨a31x1 + a32 x2 +...+ a3n xn = b3
          ⎪.    . . . . . . .
          ⎪
          ⎪⎩an1x1 + an2 x2 +...+ ann xn = bn

      (1) - неоднородная система n линейных уравнений с n неизвестными, если
         хотя бы один из свободных членов bi ≠ 0, i = 1,2,..., n.
      10. Если все bi = 0, то система (1) однородная.
      11. Теорема Кронеккера -Капелли (об исследовании решений системы
(1)). A(aik ), i = 1,2,..., n; k = 1,2,..., n - матрица системы. С - расширенная матри-
ца, полученная из матрицы А присоединением столбца свободных членов.
I. Если R(A)=R( C )=r, то система (1) совместна, т.е. имеет решение.
II. Если r = n, то система (1) имеет единственное решение.